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L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013



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Salle Pi du palais de la découverte à Paris

Et pour quelques décimales de plus...
Histoire des records et méthodes


Depuis Archimède, les mathématiciens ont tenté de calculer un maximum de décimales du nombre Pi, même si cela paraît parfois une quête inutile à certains... Mais sans ces efforts, on serait passé à côté de beaucoup de découvertes de nouveaux algorithmes et de méthodes de multiplication rapide mises au point ces dernières années ! Pensez donc aux retombées des formules BBP de Plouffe !
C'est donc bien une partie vivante et productive des mathématiques que celle consiste à découvrir, optimiser et rendre encore plus rapide tous les algorithmes de calcul.

Sommaire

Méthodes algorithmiques utilisées dans le calcul des décimales de Pi
Les meilleurs calculs de décimales de Pi à travers les âges...
Décimales calculées à la main puis sur des ordinateurs
Position calculée (digit en base 2 sans les digits précédents)
Fraction continue de Pi
Record de décimales dans une classe
Records de mémorisation
Les annonces de record
Les échos du record de Takahashi-Kanada datant d'avril 1999 (68 719 470 000 décimales)
Les échos du record de Kanada de septembre 1999 (206,158,430,000 décimales)
Les échos du record de Kanada datant de décembre 2002 (1 241 100 000 décimales)
Statistiques sur Pi
1 000 000 de décimales de Pi

Méthodes algorithmiques utilisées dans le calcul des décimales de Pi

Les meilleurs calculs de décimales de Pi à travers les âges...
(en notations modernes, bien sûr...)

note : 4*2+4*3 veut dire Pi=4 arctan(1/2)+4arctan(1/3), c'est la formule qui sert à calculer les décimales (au moyen du DL d'arctan)

NOM

DATE

Approx. ou méthode utilisée

Décimales justes

Babyloniens

-2000

3+1/8=3,125

1

Egyptiens (scribe Ahmès)

-1650

(16/9)2=3,16045

1

Chinois

-1200

3

0

Bible

-550

3

0

Archimède

-250

3,14185

3

Hon Han Shu

130

1

Ptolémée

150

377/120=3,14166

3

Chung Hing

250

1

Wang Fau

250

142/45=3,155

1

Liu Hui

264

3,14159

5

Siddhanta

380

3+177/1250=3,1416

3

Tsu Chung Chih

480?

355/113=3,141592

6

Aryabhata

499

3,14156

4

Brahmagupta

640

101/2=3,1622

1

Al-Khowarizmi

800

3,1416

3

Fibonacci

1220

3,141818

3

Al-Kashi

1429

6016I59II28III1IV34V51VI46VII14VIII50IX

14

Otho

1573

3,1415929

6

Viete

1593

3,1415926536

9

Romanus

1593

 

15

Van Ceulen

1596

méthode d' Archimède

20

Van Ceulen

1609

"

34

Grienberger

1630

"

39

Newton

1665

"

16

Sharp

1699

"

71

Seki

1700

"

10

Machin

1706

16*5-5*239 (Machin)

100

De Lagny

1719

4*2+4*3 (Euler)

112 (sur 127 calculées)

Takebe Katahiro

1723

polygone 1024 côtés

41

Matsunaga

1739

 

50

Vega

1794

20*7+8arctan(3/79) (Euler 1755)

140

Rutherford

1824

16*5-4*70+4*99
(Euler 1764)

152 (sur 208)

Strassnitsky, Dahse

1844

4*2+4*5+4*8
(Strassnitsky 1844)

200

Clausen

1847

8*3+4*7 (Hutton 1776)

248

Lehmann

1853

8*3+4*7

261

Rutherford

1853

formule de Machin

440

Shanks

1874

formule de Machin

527 (sur 707)

Ferguson

1945

12*4+4*20+4*1985
(Loney 1893)

539

Ferguson

1947

 

620

Ferguson

1948

 

710

Ferguson et wrench

1948

 

808

Smith et Wrench

1949

 

1 120

Reitwiesner sur l' ENIAC

1949

formule de Machin

2 037

Nicholson et Jeenel

1954

formules d'arctan

3 092

Felton

1957

32*10-4*239-16*515
(Klingenstierna 1730)

7 480

Genuys

01-1958

 

10 000

Felton

05-1958

48*18+32*57-20*239
(Gauss 1863)

10 021

Guilloud

1959

 

16 157

Shanks et Wrench

1961

24*8+8*57+4*239
(Störmer 1896) + formule de Gauss

100 265

Guilloud et Filliatre

1966

 

250 000

Guilloud et Dichampt

1967

 

500 000

Guilloud et Bouyer

1973

formules Störmer+ Gauss

1 001 250

Miyoshi et Kanada

1981

 

2 000 036

Guilloud

1982

 

2 000 050

Tamura

1982

 

8 388 576

Kanada, Yoshino et Tamura

1982

 

16 777 206

Gosper

1985

suite de Ramanujan

17 526 200

Bailey

01-1986

algorithmes d' ordre 2+ d' ordre 4 des Borwein

29 360 111

Kanada et Tamura

10-1986

algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein

67 108 839

Kanada, Tamura, Kobo

01-1987

"

134 217 700

Kanada et Tamura

01-1988

"

201 326 551

Chudnovsky et Chudnovsky

05-1989

Suites de type Ramanujan

480 000 000

Chudnovsky et Chudnovsky

06-1989

Suites de type Ramanujan

525 229 270

Kanada et Tamura

07-1989

algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein

536 870 898

Chudnovsky et Chudnovsky

08-1989

Suites de type Ramanujan

1 011 196 691

Kanada et Tamura

11-1989

algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein

1 073 741 799

Chudnovsky et Chudnovsky

08-1991

Suites de type Ramanujan

2 260 000 000

Chudnovsky et Chudnovsky

05-1994

Suites de type Ramanujan

4 044 000 000

Kanada

06-1995

algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein

4 294 967 286

Kanada

10-1995

algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein

6 442 450 938

Takahashi-Kanada

08-1997

algo d 'ordre 2 et 4 des Borwein

51,539,600,000

Takahashi-Kanada 04-1999

algo de Brent/Salamin
et ordre 4 des Borwein

68,719,470,000

Takahashi-Kanada 20-09-1999
algo de Brent/Salamin
et ordre 4 des Borwein
206,158,430,000
soit environ 3.236
Kanada 06-12-2002 formules type Machin
48*49+128*57-20*239+48*110443
176*57+28*239-48*682+96*12943
1,241,100,000,000

d'après D. Bailey, J. et P. Borwein, S. Plouffe et moi-même




Décimales calculées à la main puis sur des ordinateurs

D'autres graphiques (personnels)




Position calculée (digit en base 2 sans les digits précédents)

Bailey-Borwein-Plouffe

1996

40 000 000 000

Bellard

6-7-1996

50 000 000 000

Bellard

7-10-96

100 000 000 000

Bellard

22-9-97

1 000 000 000 000

Colin Percival - Project Pihex

21-8-98

5 000 000 000 000

Colin Percival - Project Pihex

9-2-99

40 000 000 000 000

Colin Percival - Project Pihex
11-09-2000
1 000 000 000 000 000




Fraction continue de Pi

Pas mal de termes de la fraction continue de Pi ont été calculés. Voici les principaux records en date :

Gosper

1977

17,001,303

H. Havermann

Juin 1999

20,000,000

H. Havermann
Mars 2002
180,000,000

Notez qu'Havermann présente une très intéressante page explicative à propos de la fraction continue de Pi



Record de décimales dans une classe

Bon, d'accord, c'est un record que j'ai inventé ;-)... mais c'est pour rendre hommage à la classe de 5ème Berlin du collège de Bouchain (59111) dans le département du Nord en France, qui se réunit tous les lundi afin de rajouter quelques décimales à son mur de classe ! Ils en sont à 85 en cette année 2012/2013 ! Bravo à eux !!
(cliquez sur les images pour avoir les grands formats)






Records de mémorisation

Un japonais détient le record, essayez d'imaginer ce que cela représente en termes de mémoire, c'est fou !
Les principaux records :

Simon Plouffe

1975

4096

Hideaki Tomoyori

1979

15,151

Hiroyuki Goto (en 9h)

1995

42,000

Akira Haraguchi (détails ci-dessous)
2006
100,000

Akira Haraguchi, un Japonais de 60 ans, a récité 100 000 décimales de Pi en 16h30 le 3 octobre 2006, battant ainsi son propre record (non-officiel) de 83 431 décimales établi l'année dernière ! Premier commentaire de l'intéressé: "Je n'ai rien ressenti de sensationnel, j'ai juste vidé tout ce qu'il y avait dans ma mémoire" ;-) Voir ici la dépêche AFP, le classement des records de mémorisation (non mis à jour) et de ce côté la dépêche sur son précédent record de 2005.

 


Les annonces de record (html)

1000 milliardième (10^12) digit binaire de PI par Fabrice Bellard- 22/09/97

5 000 milliardième digit de Pi est '0' par Colin Percival (projet PiHex) - 21/08/98

40 000 milliardième digit de Pi est '0' par Colin Percival (projet PiHex) - 9/02/99

Le millionième de milliards digit binaire de Pi (1015) est '0' par Colin Percival (projet PiHex) - 11/09/00

51,539,600,000 décimales de Pi par Kanada
08/06/97

206,158,430,208 (=3*2^36) décimales de Pi par Kanada
04/10/99


Les échos du record de Takahashi-Kanada datant d'avril 1999 (68 719 470 000 décimales)

Deux calculs sur un HITACHI SR8000 basés sur deux algorithmes indépendants (méthode de Brent/Salamin et algorithme d'ordre 4 des frêres Borwein) ont généré 68,719,476,736 (=236) décimales de Pi. En comparant les deux résultats, on a trouvé 68,719,476,693 décimales communes. Le nouveau record mondial a donc été proclamé pour 68,719,470,000 décimales de Pi calculées.


Programme principal :
Début : 2 Avril 1999 20:14:38
Fin : 4 Avril 1999 05:08:41
Temps total : 32:54:02
Mémoire utilisée : 296 GB
Algorithme : Gauss-Legendre (Brent-Salamin)

Programme de vérification :
Début : 4th April 1999 05:08:48
Fin : 5th April 1999 20:29:25
Temps total : 39:20:37
Mémoire utilisée : 280 GB
Algorithme : ordre 4 des Borwein




Les échos du record de Kanada de septembre 1999 (206,158,430,000 décimales)


Deux calculs sur un HITACHI SR8000 basés sur deux algorithmes indépendants (méthode de Brent/Salamin et algorithme d'ordre 4 des frêres Borwein) ont généré 206,158,430,208 (=3.2^36) décimales de Pi. En comparant les deux résultats, on a trouvé 206,158,430,163 décimales communes. Le nouveau record mondial a donc été proclamé pour 206,158,430,000 décimales de Pi calculées.

Programme principal :
Début : 18 Septembre 1999 19:00:52 (heure du Japon)
Fin : 20 Septembre 1999 08:21:56
Temps total : 37:21:04
Mémoire utilisée : 865 GB (=6.758*128)
Algorithme : Gauss-Legendre (Brent-Salamin)

Programme de vérification :
Début : 26 Juin 1999 01:22:50
Fin : 27 Juin 1999 23:30:40
Temps total : 46:07:10
Mémoire utilisée : 817 GB (=6,383*128)
Algorithme : ordre 4 des Borwein

 


Les échos du record de Kanada datant de décembre 2002 (1 241 100 000 000 décimales)

Deux calculs pendant près de 600 heures sur un HITACHI SR8000/MP doté de 1TB de stockage (1024Go), et basés sur deux formules indépendantes de type Machin, ont généré 1,241,100,000 décimales de Pi après que le résultat obtenu en base hexadécimale ait été converti en base dix. Les formules employées sont :

Ce retour à des formules étonnament simples après l'utilisation pendant une quinzaine d'années des algorithmes de Brent-Salamin, des Borwein ou des séries de Ramanujan et Chudnovsky était vraiment inattendu. il semble que malgré les améliorations algorithmiques perpétuelles, la complexité de ces formules avait atteint la limite des capacités des ordinateurs. En effet, l'utilisation perpétuelle de racines, multiplications et divisions nécessitait l'utilisation de la transformée de fourier rapide (FFT) à très grande échelle. Cette dernière requiert énormément de mémoire pour fonctionner. Kanada est donc revenu à des méthodes plus sages, qui nécessitent sensiblement plus d'opérations arithmétiques mais ne requièrent pas de très larges FFT et donc beaucoup moins de mémoire. Ces difficultés sont récemment apparues même au niveau des plus gros ordinateurs de la planète, dont les communications réseau et mémoire semblaient finir par saturer plus vite que la théorie ne le prévoyait. Kanada estime que son implémentation est environ deux fois plusplus rapide que la précédente qui utilisait l'algorithme des Brent-Salamin et celui d'ordre quartique des Borwein.

Quelques articles ou sites sélectionnés à consulter à propos de ce record :

Seattle Post Intelligencier

Le Laboratoire de Kanada avec de nombreux articles dans "Press Release"

Daily Times

Page de J. Borwein consacrée au record

MathTrek (Ivan Peterson)

 




Statistiques sur Pi

Fréquence de distribution des décimales sur les 50 000 000 000 premières:

'0' : 5000012647
'1' : 4999986263
'2' : 5000020237
'3' : 4999914405
'4' : 5000023598
'5' : 4999991499
'6' : 4999928368
'7' : 5000014860
'8' : 5000117637
'9' : 4999990486
Chi deux = 5.60

Fréquence de distribution des décimales de 1/Pi sur les 50,000,000,000 premières:

'0' : 4999969955
'1' : 5000113699
'2' : 4999987893
'3' : 5000040906
'4' : 4999985863
'5' : 4999977583
'6' : 4999990916
'7' : 4999985552
'8' : 4999881183
'9' : 5000066450
Chi deux = 7.04



Sur cette page, vous avez aussi le moyen de récupérer un million de décimales !

1 000 000 décimales de Pi

Mais si vous en voulez encore plus....
- Récupérer 4 200 000 000 décimales (4 milliards 200 millions)

Site ftp://pi.super-computing.org/


Les 1000 premières pour s'amuser....
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...


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