Tranches de vie

Jonathan et Peter Borwein sont des mathématiciens canadiens faisant partie du CECM rattaché à l'université Simon Fraser de Vancouver.
Jonathan en est le directeur et Peter son frère en est le directeur associé. Pour plus de renseignements, cliquez sur leurs noms et vous irez sur leur page personnelle.

Autour de

Depuis plus de 15 ans, ces deux-là ont révolutionné la recherche sur Pi ! Après l'algorithme à convergence quadratique trouvé par Brent/Salamin en 1976, ils ont alors pratiquement monopolisé les découvertes de séries. Quadratique, cubique, quartique, nonique... la vitesse de convergence ne s'est plus arrêtée depuis !
En fait, ils ont prouvé il y a quelques années qu'un algorithme à vitesse n-ique convergeant vers Pi existe pour tout n entier... Mais la complexité des calculs s'accroit très vite et il semble bien que l'algorithme à convergence quartique représente le meilleur rapport complexité/rapidité... Il a d'ailleurs été utilisé dans la plupart des records depuis sa découverte et notamment par Kanada pour calculer les 206 milliards de décimales récemment.
Vous l'aurez compris, les Borwein représentent aujourd'hui avec le petit groupe composé des Chudnovsky, Simon Plouffe, Garvan, Gosper et Bailey, le summum de la recherche active sur Pi.
En ce qui concerne la preuve de ces formules, je me dois malheureusement de passer outre le grand principe de ce site... Car ces démos sont déja transcrites sur le web à l'adresse suivante : www.cecm.sfu.ca/organics/papers/garvan/paper/html/paper.html. Pour les gens allergiques à l'anglais (comme moi !), la lecture d'une démo dans cette langue est toujours un peu pénible et puis elle fait ici cruellement défaut à mon sens. Mais il faut reconnaître aussi qu'il serait inutile de recopier bêtement 4 ou 5 résumés de démonstration sans pouvoir compléter les intermédiaires de calcul (même si le principe est assez simple à comprendre), n'étant pas du niveau d'un mathématicien...
Je retranscris donc seulement le résumé de la preuve pour le 3) (2e formule), qui est parfaitement représentatif du principe des démonstrations utilisant les équations modulaires... (voir la page conscrée à Ramanujan pour l'explication de cette théorie et du principe de la démonstration)

Démonstration :

Les techniques de cette démo font principalement appel aux thêta fonctions, à la fonction êta de Dedekind et à leurs propriétés.

1.1 Introduction :

Posons ainsi les thêta fonctions :
, r>0

On introduit ensuite la fonction des Borwein : rR^+*,

Lorsque r -> +, q -> 0 et .

Nous allons construire une infinité de suites _p et trouver une relation entre _p(N²r) et _p(r) (comme le disent les Borwein, c'est une relation "agréable" si N=p !)

2.1 Construction des suites _p

Pour cela, on pose q=exp(2i) et on considère la fonction êta de Dedekind :

on rappelle pour la suite la relation trouvée par Euler :

2.2 Cette fonction êta admet entre autre comme propriété :

2.3 Posons par ailleurs :


2.4 et posons enfin (ouf !) la fonction _p définie par :

(facile à retenir, voyons...)

2.5 On a :

A_p(r)=1+O(q)

2.6 et d'après 2.2,
On a alors
(toutes ces précédentes relations sont très difficiles à trouver mais heureusement vraies (!) et le principe est intéressant...)

2.7 Donc pour r=1 on a (ne dépend pas de !!)
2.8 On a de plus, de même que pour :
3.1 Relation entre _p(N²r) et _p(r)

Soient N,p1, on obtient :


Relation exceptionnelle sur laquelle sont basés tous ces algorithmes !!

3.2 D'après 2.4, on a :


(La série utilisée s'appelle la série d'Eisenstein E₂(q))

3.3 D'après 3.1, on a encore :


3.4 et donc pour N=p on a d'après 3.1 :

or d'après 3.1 et 2.6 on a :

m_p,p()=p

3.5 On trouve donc pour r= et d'après 2.6 :

_p()=

(Tiens, ne serait-ce pas un bon point de départ pour =0,318... !!)

4.1 Construction de la suite

On pose

_n=_p(r₀ p ²ⁿ)

r₀ p ²ⁿ -> + lorsque n -> +
donc _n ~ car _p(r₀ p²ⁿ) -> d'après 2.8.
on pose également

m_n=m_p,p(r₀ p²ⁿ)

Cette écriture n'étant pas ce que l'on peut appeler le plus pratique, on va donc chercher une relation entre _n et _n-1 sachant que :
₀=_p(r₀) pour r₀=, donc ₀=.

La première partie de l'étude générale est terminée. Pour construire les algorithmes, la suite consiste à choisir un p particulier et puis d'introduire des formes modulaires a(q), b(q) et c(q). L'existence d'une relation entre a(q), b(q), c(q) et a(q^p), b(q^p), c(q^p) nous fournit l'équation modulaire

a ^p+b ^p=c ^p

(non, non, ce n'est pas le théorème de Fermat !!)
En définissant :
, on a s^p+(s*)^p=1 et les relations entre s, s* et nous fournissent l'algorithme...

Application à l'ordre 2 (p=2) :

5.1 Définitions :

D'après 3.2, on a A₂(q)=2P(q²)-P(q)=₃⁴(q)+₂⁴(q) d'après 1.1 et 3.2

Posons par ailleurs :

5.2 a(q)=₃⁴(q)+₂⁴(q)
5.3 b(q)=₄⁴(q)
5.4 c(q)=2₂²(q)₃²(q)

L'équation modulaire associée est :

5.5 a²=b²+c²

D'après 3.1 on a donc :

5.6
Puis d'après 5.2 à 5.5, on trouve (pas facilement) :

5.7 et
5.8 a(q)=a(q²)+3c(q²)

En posant s et s* comme définis plus haut, on en déduit :
5.9 et
5.10 , bien...

On a d'après 5.5 :
5.11 s²+(s*)²=1

D'après 5.9 et 5.6, on a :
5.12 m_2,2(r)=(1+3s(q²)) (pas trop dur, ça !)

et donc, d'après 5.10 et 5.9

D'autre part, d'après 3.4 et 5.12, on a

Or, de 3.4 et 3.5, on sait que ₂()= et m_2,2()=p=2
et d'après 5.12, 2=1+3S(2) donc S(2)=.
5.14 On a alors _n=(4 ⁿ)
5.15 et s_n=S(4ⁿ)
donc, finalement, on a ₀=, s₁=S(2)=, et

et d'après 5.13,

_n=(1+3s_n)_n-1-2^n-1s_n

d'où on tire (enfin !) l'algorithme suivant :

Ce qui est le plus frustrant dans cette démo, c'est la simplicité du principe et l'horreur parallèle des calculs qui n'apparaît pas ici puisque les résultats les plus difficiles sont admis...


Concernant les séries, j'ai la formule générale de formation de ces séries et le principe, mais n'ayant pas tout compris, je vous laisse aller regarder sur le site des Borwein :



La première série correspond au cas t=427 et la seconde au cas t=1555.

Essais

Alors là par contre, pas d'essais trouvés sur le net, donc, en voici. Evidemment, ils sont assez époustouflants !
La deuxième formule a été testée aussi au chapitre Salamin...
Pour les suivantes, accrochons-nous ! L'ordre indique la vitesse de convergence (2->quadratique, 4->quartique...), et le chiffre entre parenthèses la formule à laquelle le test se réfère...

n=	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12
Ordre 2 (2)	2	8	18	40	83	170	344	693	1392	2789
Ordre 2 (3.2)	0	2	7	18	40	84	171	345	694
Ordre 4	7	40	170	694							29360128
Ordre 5	5	31	166	848

Je n'ai pu tester les ordres supérieurs à 5, mon calculateur actuel ne dépassant pas 100 décimales de précision (ce qui est lamentablement petit, vu la rapidité de la convergence !)