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Carl Friedrich Gauss
(1777 - 1855)



Quelques formules d'arctan



Tranches de vie

Ah, Gauss, sans doute l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps... Il est né en 1777 à Brunswick et attribue son génie à sa mère. C'est en effet un enfant prodige et ses capacités sont vite reconnues. Il aime d'ailleurs raconter comment il fut le seul dans sa classe, un jour où le professeur voulait être tranquille, à trouver la solution du problème que ce dernier leur avait posé, à savoir la somme des 100 premiers entiers. Comme 1+100=2+99=3+98=...=101, Gauss en déduit le résultat 50*101=5050 et pose son ardoise sur le bureau du prof avant même que celui-ci ait fini de parler... Gauss a moins de dix ans... Il aimera raconter plus tard ces anecdotes dans un souci de notoriété... Avait-il vraiment peur d'en manquer ? Il n'avait pas 16 ans lorsqu'il imagina une méthode de calcul de l'orbite d'une planète et de résolution des systèmes, son fameux pivot de Gauss...
Devenu directeur de l'observatoire de Göttingen après ses travaux en mécanique céleste, il publie en 1801 Disquisitiones arithmeticae dans lequel il crée les congruences et étudie les formes quadratiques et diverses propriétés d'algèbre. Travaillant ensuite sur la géométrie non euclidienne il s'intéresse alors de plus en plus à la physique et accepte (c'est la seule fois!) la collaboration de Wilhelm Weber jusqu'en 1837. Les domaines qu'il aborde sont le magnétisme, l'optique et l'électricité...
Il forme vers la fin de sa vie des élèves brillants comme Riemann, Dedekind, Eisentein. Il dira d'ailleurs sans doute un peu vite de ce dernier, étonné par ses capacités, qu'il n'y a eu que 3 mathématiciens qui ont forgé leur époque : Archimède, Newton et Eisenstein... Celui-ci est, malheureusement pour les mathématiques, mort prématurément...
Gauss, lui, disparaît en 1855 après une vie bien remplie...

Autour de

Malheureusement, si son apport aux mathématiques est complètement fondamental, il a laissé peu de formules faisant intervenir . Il est vrai qu'il était surtout spécialiste d'arithmétique et de géométrie, mais c'est presque décevant !!! Enfin, n'oublions pas que c'est lui qui a mené l'étude de la suite arithmético-géométrique utilisée par Brent/Salamin sans, pour une fois, en voir toute les retombées possibles concernant le calcul de .
A noter que le résultat de l'intégrale sur R des courbes type exp(-x2) comme la cloche de Gauss fut trouvé pour la première fois par Abraham de Moivre et la démonstration est donc sur sa page.

Démonstrations

Inutile d'encombrer cette page pour la remplir d'égalités alors que le principe est si simple. Il suffit en effet d'utiliser les règles énoncées dans la partie démonstration de la page consacrée à Machin. La règle 4) est par exemple vérifiée pour la première formule ci-dessus avec k=1, m=12, a=18, n=8, b=57, et on ajoute un p=5, et c=-239 sur le même modèle. On obtient en effet (1-i)k(a+i)m(b+i)n(c+i)p=-144996366690679927359016418457031250000000 ! et la partie imaginaire est bien nulle...
Pour raisons de paresse, je ne retranscris pas le calcul pour la seconde formule qui est parfaitement similaire ...
Ah, passons aux essais !

Essais

Première série : (infini est remplacé par n dans la série)

n=0 3,144 (2)
n=3 3,1415926535629 (10)
n=10 27 decimales exactes


Deuxième série :

n=0 3,1420 (2)
n=3 3,141592653589759 (13)
n=10 35 décimales exactes


On constate une convergence d'environ 2.5n+2 pour la première série et 3.2n+3 pour la seconde ce qui devient très intéressant. La première formule a d'ailleurs été utilisée pour vérification du calcul lors du record de 51 milliards de décimales de .



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