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Alexander Aitken
(1895 - 1967)



Une formule remarquable

Tranches de vie

Voilà un homme bien singulier... et trop méconnu... J'espère que ce site permettra de faire connaître un peu mieux sa formidable formule d'accélération de la convergence, le Delta2 !
Mais plongeons plutôt dans le récit de l'histoire de ce mathématicien peu commun :
Alexander Aitken est né en 1895 en Nouvelle-Zélande. Etudiant les langues et les mathématiques à partir de 1913, il est blessé à la bataille de la Somme pendant la première guerre mondiale. Très marqué par cet événement, il rejoint Edimbourg en Ecosse après 3 mois d'hôpital. Doté d'une mémoire extraordinaire (il connaît tout de même 2000 décimales de Pi et est capable de donner la décimale à la n-ième place !), il met au point le fameux Delta2 accélérant de façon optimale les suites. Mais cette fameuse mémoire lui rappelle trop souvent la bataille de la Somme et le traumatise. Il écrit alors ses mémoires mais celles-ci ne contribuent qu'à aggraver sa relative folie mentale et il décède finalement en 1967.

Autour de

Le Delta2 accélère, on l'a dit, de façon optimale certaines suites. Il est conçu pour fonctionner au mieux avec les suites géométriques. Avec celles-ci, il donne directement la limite au bout de 3 itérations, sinon il tente de deviner la limite de cette suite. Si il ne la trouve pas, il accélèrera en tout cas la convergence.
Ses propriété sont assez extraordinaires, prenons par exemple le développement limité de

ln(1+x)=

valable sur ]-1,1] comme chacun sait. Si l'on fait x=2, la série va diverger, bien sûr. Eh bien ce cher Delta2 va le faire converger pendant quelque temps!!! Regardez plutôt :
ln(3)=1,0986...
Avec la série au rang 8, on a -19,31 (!)
Avec le Delta2 itéré 2 fois, au rang 8, on a 1,0979
Après on recommence à s'éloigner de la vraie valeur. Mais que des valeurs complètement fausses dans la série donnent une bonne valeur avec le Delta2, c'est assez fabuleux, n'est-ce pas ?
En général, le Delta2 accélère toutes les suites dont le rapport de deux écarts consécutifs converge vers une limite non nulle comprise entre -1 et 1, ce qui est bien sûr le cas des suites géométriques.
Le Delta2 d'Aitken est très instable numériquement car le numérateur et le dénominateur sont proches de 0 et il faut donc calculer avec un bon paquet de décimales ! On utilisera de préférence le second membre de la formule, plus stable...

Démonstration

Formellement, si l'on construit tn à partir de xn, cette dernière convergeant vers L, on dit qu'il y a accélération de la convergence si on a :

ce qui, intuitivement, se comprend fort bien...
Nous allons construire le Delta2 et montrer qu'il vérifie bien cette propriété...
Dotons nous donc d'une suite xn convergeant vers l avec une erreur en=xn-L vérifiant (1)
Nous allons construire une suite tn à partir de xn qui convergera plus vite vers sa limite. Ca n'est pas très long, et sacrément constructif vous verrez !


Construction :

Supposons pour cela que (1) est exact pour tout n (sans passage à la limite...) c'est à dire que en+1=Aen (2)
*Or, on a en=xn-L par définition donc immédiatement, on obtient :

xn+2-xn+1=A.(xn+1-xn) (3)

*Posons maintenant xn=xn+1-xn. (4)
D'après (2) et la définition de en, il vient xn+1-L=A(xn-L) et donc L(1-A)=xn+1-Axn et enfin :

=xn- (5)

*Calculons 2xn=(xn)=xn+1-xn=xn+2-2xn+1+xn. (6)
Or, on a 1-A=1- donc, on en déduit :

L=xn-

Mais puisque l'hypothèse de départ (1) n'est vraie qu'à la limite, on introduit une nouvelle suite :

tn=xn- (7)

avec tn tendant vers L en l'infini

Preuve du théorème :

En bons architectes, après avoir construit cette suite, vérifions qu'elle tient debout et converge effectivement plus rapidement !
Puisque l'on n'est plus à la limite, posons en+1=(A+ßn)enßn tend vers 0
*Un petit calcul rapide donne :

en=xn+1-L-xn+L=xn
2en=en+2-2en+1+en=xn+2-2xn+1+xn=2xn


Exprimons donc en et 2en ce qui donnera xn et 2xn :

*D'une part, en+2=(A+ßn+1)en+1=(A+ßn+1)(A+ßn)en
et donc

2en=en+2-2en+1+en=(A+ßn+1)(A+ßn)en-2(A+ßn)en+en=(A-1)2enn'en

ßn'=A ßn+A ßn+1n+1 ßn-2ßn tend vers 0 en l'infini

*D'autre part,

en=en+1-en=(A+ßn)en-en=(A-1+ßn)en


On remplace maintenant dans (5) et on obtient :
tn=xn- et en divisant par xn-L=en#0 :

et le théorème est bien démontré, il y a accélération de la convergence !
Il ne reste qu'à exprimer xn et 2xn dans tn comme au (4) et (6) pour retrouver la formule du Delta2 d'Aitken ! Après cette démo, j'espère qu'il n'aura échappé à personne la provenance du nom Delta2 de la méthode !


Avec la participation de David Jelgersma
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