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L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013



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Léonard de Pise - Fibonacci
(1180 - 1250)



Des résultats assez étonnants concernant la suite de Fibonacci




Tranches de vie :

Fibonacci est né à Pise en 1180. Fils d'un commerçant toscan (Bonaccio, d'où son surnom), il est amené à voyager beaucoup, notamment au Proche-Orient. Fasciné par la numérotation arabe qu'il découvre, il l'introduit dans le monde occidental en rédigeant un ouvrage d'explication à son retour (Liber abaci). Ceci lui permet d'étudier plus facilement les équations d'ordre 1 et 2 et, comme on le voit dans l'historique des records, de calculer quelques décimales de Pi !!
Fibonacci est resté très célèbre grâce à sa suite et au fait qu'il soit preque le seul mathématicien occidental de talent à cette époque.
Sa suite était censée résoudre le problème suivant :
*On considère un couple de lapins qui se reproduit. Combien obtiendrons-nous de couples de lapins après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après deux mois (1202, d'après Des mathématiciens de A à Z, voir Biblio)

Autour de

Fibonacci n'a évidemment jamais écrit le résultat précédent, mais sa suite et ses dérivées sont au coeur de cette formule, et il a entrepris un calcul des décimales de Pi (3,1418); son intérêt pour cette constante méritait donc de toutes façons une place sur ce site !

Démonstration

Elle est essentiellement géométrique...
Soit une suite récurrente du type : Un=Un-1+Un-2
On considère 4 termes consécutifs de cette suite : Un, Un+1, Un+2, Un+3
Soient les 6 angle aigus ß, ß', ß", µ, µ', µ" contenus dans la figure suivante, un rectangle de côtés Un+3=Un+2+Un+1 et Un+2=Un+1+Un




On a d'après le schéma OM=ON car [OM] et [ON] sont les hypoténuses du même triangle rectangle de base Un+2 et hauteur Un+1.
Les triangles hachurés sont les mêmes par rotation d'angle /2 donc µ"=µ' or ß"+µ'=/2 donc ß"+µ"=/2 et le triangle est rectangle isocèle en O (bon, d'accord, ce n'est pas flagrant sur le schéma !)
Les autres angles intérieurs du triangle ont donc pour mesure /4 donc µ-ß=/4 et ß'+µ'=/4
or tan(ß)=Un / Un+3, tan(µ)=Un+2/Un+1
et tan(ß')=Un / Un+3, tan(µ')=Un+1 / Un+2

D'où /4=Arctan(Un+2 / Un+1)-Arctan(Un / Un+3)
et /4=Arctan(Un+1/Un+2)+Arctan(Un/Un+3)

La suite de Fibonacci étant croissante, la seconde équation est une somme d'arctan de nombres 1. En appliquant le développement limité d'arctan en 0 (qui est valable jusqu'à 1) à la deuxième des deux égalités précédentes, on a le résultat :



Encore plus fort !
Chacun sait que le quotient Un+1/Un tend vers le nombre d'or = donc il est facile de voir que Un/Un+3 tend vers 1/3. En passant à la limite pour n dans la somme précedente, on a donc :


Après e et , voilà que et se trouvent passionnément liés !!

Essais

On connaît bien la convergence linéaire des suites d'arctan, donnons plutôt quelques unes des égalités que l'on peut obtenir grâce à cette formule :

/4=Arctan(Un+1/Un+2)+Arctan(Un/Un+3) noté ci-dessous Un+1/Un+2+Un/Un+3 par simplicité !

n=0 1/2+1/3 (Formule d'Euler)
n=1 2/3+1/5
n=2 3/5+1/4
n=3 5/8+3/13
n=4 8/13+5/21
n=5 13/21+4/17
n=6 21/34+13/55
n=10 144/233+89/377


On obtient ainsi un ensemble parfaitement dénombrable de suites convergeant vers ...



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