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Boris Gourévitch
L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013



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Table des matières

1 Petit rappel historique rapide
2 Introduction aux séries hypergéométriques
 2.1 Définition
 2.2 Quelques propriétés et exemples simples
3 La fonction Psi : Base des formules type Machin ou BBP
 3.1 Définition
 3.2 Equations différentielles
4 Formule de type Machin
5 Formules BBP : La technique
 5.1 s = 1,  v = 0  : Les polylogarithmes
  5.1.1 Définition
  5.1.2 Valeurs remarquables
  5.1.3 Formule de duplication
  5.1.4 Formules d’Euler et de Landen pour le dilogarithme
  5.1.5 Formule de Landen pour le trilogarithme
  5.1.6 Valeurs particulières
  5.1.7 Quelques intégrales classiques
 5.2 Liens entre intégrales, formules BBP et polylogarithmes
  5.2.1 Notations
 5.3 Intégrales et formules BBP
  5.3.1 Intégrales équivalentes aux séries BBP
  5.3.2 Intégrales plus générales et formules BBP
  5.3.3 Calcul des intégrales
 5.4 Fonction Y  et polylogarithmes
 5.5 Intérêt des formules BBP
6 Formules BBP en base 2 : s  (-  N  ,v = p
    q  , x =-1n
   2  dans Y
 6.1 Les intégrales considérées
 6.2 La méthode
 6.3 Formules pour p  , ln(2)  , ln(3)  et ln(5)
  6.3.1 Application aux formules BBP pour p
  6.3.2 Formules BBP pour ln (2), ln (3)  et ln(5)
 6.4 Cas des polylogarithmes d’ordre 2  : Formules d’ordre 2
  6.4.1 Les expressions classiques : I(1),I(1),I(1),I(1)
 1   2  3   4  et I(1)
5
  6.4.2 Calcul de  (1)  (1)
I7 ,I8  et  (1)
I9
  6.4.3 Calcul de  (1)
I10 ,  relation entre  (1)
I6  et  (1)
I11
  6.4.4 Application à la détermination de formules BBP
  6.4.5 Quelques formules composites
 6.5 Cas des polylogarithmes d’ordre 3
  6.5.1 Calcul de  (2)
I4
  6.5.2 Calcul de I(82)
  6.5.3 Relation entre I(52)  et I(92),  valeur de I(12)0
  6.5.4 Calcul de I(2)
 7
  6.5.5 Application à la détermination de formules BBP
 6.6 Cas des polylogarithmes d’ordre 4
  6.6.1 Les relations
  6.6.2 Application à la détermination de formules BBP
  6.6.3 Formules pour p4, p2ln2(2)  et ln4(2)
 6.7 Cas des polylogarithmes d’ordre 5
  6.7.1 Les relations
  6.7.2 Application à la détermination de formules BBP
  6.7.3 Formules pour z(5),p4ln(2),p2ln3(2)  et ln5(2)
  6.7.4 Simplifications de ces formules
7 s  entier fixé,v = p
    q  , x = -1n
    3  : BBP en base 3
 7.1 Formules pour   V~ -
p  3
 7.2 Formules d’ordre 2 : intégrales avec ln(y)
 7.3 Formules d’ordre 3 : Intégrales avec ln2
 (y)
8 Et les autres bases alors ? ?
9 Polygamma et Clausen
 9.1 Fonctions polygamma
 9.2 La fonction digamma
 9.3 Polygamma d’ordre m > 1
  9.3.1 Liens avec les intégrales des formules BBP
  9.3.2 Une approche graphique
  9.3.3 Traduction analytique
 9.4 Combinaisons de Kölbig
  9.4.1 Fonctions de Clausen
  9.4.2 Les résultats de Kölbig.
10 Introduction de factorielles et combinaisons
 10.1 Un premier exemple
 10.2 Umbral calculus
11 Séries binomiales centrales
 11.1 Inversion de combinaisons
 11.2 Développements utiles
 11.3 Premières formules directes
 11.4 Formules d’ordre supérieur
  11.4.1 Une première formule avec démo
  11.4.2 Calcul d’une primitive de tpcoth(at)
        2
  11.4.3 Utilisation de F1
  11.4.4 Utilisation de F2
  11.4.5 D’autres formules
12 Autres coefficients binomiaux
 12.1 Formules primitives
 12.2 Formules factorielles polynômiales
 12.3 Alors, que dire de tout cela ?
 12.4 Démonstrations
 12.5 Combinaisons rapides : Formules factorielles BBP
 12.6 Alors, que dire de tout cela ?
 12.7 Démonstration typique
  12.7.1 La méthode
  12.7.2 Application : La démo de la première formule
  12.7.3 Démo de la formule en C2n7n
  12.7.4 Prédiction des formules
 12.8 Produit de combinaisons
13 Séries harmoniques
 13.1 Proximité des séries harmoniques et des polylogarithmes
 13.2 Etude de  k      + sum  oo  Hkn n
fp(x) = n=1 np x  et de  k     + oo  sum   Hkn   n+1
gp(x) = n=1 (n+1)px
  13.2.1 Définition, relations remarquables
  13.2.2 Calcul de certaines fonctions
 13.3 Application au calcul de certaines séries
  13.3.1 Avec x = 1
  13.3.2 Avec x = 12
  13.3.3 Avec x = -1
  13.3.4 Avec x = i
  13.3.5 Avec          V~ -
x = 12 + i23
  13.3.6 Avecx = - 1+ i V~ 3
      2   2
  13.3.7 Avec     1   i
x = 2 + 2
 13.4 Généralisations
  13.4.1 Sommes d’Euler
  13.4.2 Une formule combinant Harmoniques et combinatoire
  13.4.3 Une autre formule
  13.4.4 Harmoniques d’harmoniques !
14 Séries de factorielles supérieures : Ramanujan, Borwein, Chudnovsky....
 14.1 Coefficients binomiaux centraux au carré : Formules elliptiques
 14.2 Coefficients binomiaux centraux au cube : Identité de Ramanujan
15 Autres formules hypergéométriques concernant p


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