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13 Séries harmoniques

Les formules BBP s’expriment par exemple comme combinaisons linéaires de cette fonction hypergéométrique mais bien plus de choses nous attendent en fait ! Car grâce aux représentations intégrales, on peut en fait également obtenir des séries harmoniques de même forme que toutes celles que l’on vient de trouver.

Les séries harmoniques sont celles dont le terme contient la somme harmonique         sum 
H(n) =   nk=1 1k  .

13.1 Proximité des séries harmoniques et des polylogarithmes

Nous avons vu que les formules BBP ou factorielles sont des combinaisons d’intégrales du type  integral  ulnk(y)R(y)
   ----------dy
 0    Q (y)  .

Considérons maintenant l’intégrale équivalente à la série de terme la somme harmonique  sum o o  H(n)xn
  n=1  . D’après la formule du produit de Cauchy selon laquelle pour des séries absolument convergentes  sum  a
    n  et  sum  b
   n

 oo  sum       ( sum  oo  ) (  oo  sum    )
   wn =     an       bn
n=0      n=0      n=0
(587)

      sum n
wn =   k=0akbn-k  , en choisissant       k
ak = xk-  et bk = xk  on obtient wn = xnH(n)  et donc

  oo          (  oo     )(   oo   )
 sum  H(n)xn =    sum  xn-    sum  xn  = - ln-(1--x)
n=0           n=0 n    n=0          1- x
(588)

Vous commencez à voir ce que je veux dire... :-) Dès qu’une intégrale utilisera ce genre de formule, on aura de l’hamonique dans le coin. Ici, on a immédiatement en x = 12  la formule

+ sum  oo -Hn-
   2n+1 = ln (2)
n=1
(589)

Avec ln(1-x)
  x  on avait du polylogarithme (voir 35), qu’à cela ne tienne, on divise par x  l’expression 588 ! Et en intégrant ensuite entre 0  et 1  , on a

pict

  Or, comme L2 (1)= p2 - 1ln2(2)
    2   12   2  , on obtient finalement que

+ sum  oo  Hn    p2
    n2n = 12-
n=1
(591)

Fort, non ? évidemment, cela rappelle beaucoup de choses, on nage en pleins polylogarithmes et logarithmes...

On peut étudier plus généralement les séries harmoniques de ce type et les formules qui en découlent en introduisant les notations de Gery Huvent (encore lui !). Toutes les formules ci-dessous qui ne sont pas encore connues peuvent lui être attribuées !

13.2 Etude de        +o sum  o  Hk
fkp(x) =    nnp xn
       n=1  et de        + sum  oo   Hk
gkp(x) =   (n+n1)pxn+1
       n=1

13.2.1 Définition, relations remarquables

On pose

pict
pict

Ces séries ont un rayon de convergence égal à 1. La convergence a lieu sur le bord dès que p > 1  (car Hn  ~ ln(n)  ). Alors

pict

Preuve.

pict

donc

pict

De même

          (       -1-)k    n           k-i
--Hkn---=  -Hn+1---n+1---=  sum  (- 1)iCi--Hn+1---
(n + 1)p      (n+ 1)p      i=0       k(n + 1)p+i
(605)

 _

13.2.2 Calcul de certaines fonctions

Un développement usuel (faie le produit de Cauchy) donne

  1       ln(1--x)-
f0 (x) = -  1 - x
(606)

Puis par intégrations

 1     1   2                1     2
f1 (x) = 2 ln (1 - x)+ L2(x) = 2L1(x) + L2 (x)
(607)

et

         2
f12 (x) = ln-(1--x)-ln(x)-+ ln(1 -x) L2(1- x)+ L3 (x) - L3(1- x)+ z (3)
              2
(608)

Avant de continuer, examinons cette égalité. Pour x = - 1,  la série définissant f12  converge, mais le membre de droite de l’égalité précédente ne l’est pas. Cependant avec les formules d’Euler et de Landen, on obtient

pict

La dernière égalité nous donne une expression de f21(x)  valable sur [-1, 1]
    2 . Par prolongement analytique, on sait que les différentes expresions obtenues coincide là où elle sont simultanément définies.
On utilisera donc si nécessaire différentes expressions pour le calcul des fonctions fpk  en x = -1  et x = 1
    2  .

pict

On déduit du calcul de f11  que

 2      ln2(1--x)-+-L2(x)
f0 (x) =      1- x
(611)

puis par intégration que

pict

Enfin

          2
 3      -p2-ln-(1---x)+-32 ln2(1--x)ln(x)--ln3(1--x)+-L3(x)+-3L3-(1--x)--3z(3)
f0 (x) =                               1- x
(613)

et ainsi

On en déduit que

pict

pict
pict

Par un calcul de primitive, on a

pict

ce qui donne pour x  réel

pict

et

pict

et enfin

pict

13.3 Application au calcul de certaines séries

On utilise les résultats précédent avec des valeurs judicieusement choisies pour x

13.3.1 Avec x = 1

Les valeurs s’obtiennent plus facilement avec les fonctions Beta, par exemple

+o o       4
 sum   Hn-= p--
k=1 n3   72
(628)

13.3.2 Avec x = 1
    2

On obtient en prenant les valeurs des fonctions fk
 p  et gk
 p  en x = 1
    2

+ sum  oo  H
   -nn+1 = ln (2)
n=12
(629)

pict

En combinant, on obtient

+ oo 
 sum  Hn-(nHn---2)= ln2(2)
n=1     n2n
(633)

Calcul de fk(1)
 p 2 pour k+ p = 3

pict
On peut obtenir alors
   + sum  oo    (      7)
96    Hn--nH2nn--8- = p2ln(2)
 7 n=1    n 2
(636)

Calcul de fkp (1)
   2 pour k+ p = 4  Pour résumé :

pict
pict

On peut combiner ces résultats et obtenir

+ sum  oo  H2 (nH - 5)    17p4   35
   --n--2nn----= - ----+  --ln(2)z(3)
n=1     n 2         288    8
(645)

13.3.3 Avec x = -1

La convergence de la série ne pose pas de problème pour p > 2,  on obtient alors

+ sum  oo  (-1)nH     5
   ----2--n = -- z(3)
n=1   n        8
(646)

+o o     n+1
 sum   (-1)---Hn-=  1z(3)
n=1  (n + 1)2     8
(647)

Pour p = 1  on trouve formellement

pict

Ce qui donne

  2  + oo     n+1
p--=  sum   (--1)---(2n-+-1)Hn-
12   n=1     n (n+ 1)
(650)

Ces égalité se justifient car les séries alternées converge et par avec un théorème du type Tauber, on conclue.
Les deux égalités suivantes sont obtenues formellement par Maple, elle se vérifient numériquement mais je n’arrive pas à les justifier correctement.

pict

ce qui donne en les soustrayant et avec nHn - 1 = nHn- 1

pict

On a aussi

+o o     n
 sum   (--1)-H3n= - -p4 + 9z(3)ln(2)- p2ln2(2)+ ln4(2)
n=1    n        144   8           8           4
(654)

13.3.4 Avec x = i

On obtient alors en considérant les parties réelles et imaginaires

pict
pict

La convergence est assurée en faisant f11 (ix)  pour x < 1  réel et par passage à la limite en x = 1  avec le lemme d’Abel.

Avec k = 1,p = 2  On obtient compte tenu de la valeur de L3(i)  et de l’égalité de Landen en x = i,

pict

Or, il est prouvé dans [12] (calcul de I(2)
 4  )

  (  (     ))
       1--i      35z(3)  5p2ln2-  ln32
 R  L3    2     =   64  -   192  +  48
(658)

ce qui donne

+ sum  oo  (- 1)n H2n  23z(3)
   -----2--- = ------- pG
n=1    n         16
(659)

et permet d’obtenir avec  sum +o o  (- 1)n   3
  n=1 -n3--= -4z (3)

           (          )
+ sum  oo  (- 1)n+1 2nH2n + 23
   ------------------6--= 2pG
n=1         n3
(660)

Avec k+ p = 4  Les calculs sont un peu plus compliqué, on utilise cette fois ci l’égalité (658), puis la formule d’inversion pour le polylogarithme d’ordre 4  qui donne

              (     )      2  2         4    4     (  3         3  )
L4(1 -i) = - L4 1+-i  + 11p-ln-2 + 1313p-- ln-2 - i 7p--ln2-+ p-ln-2-
                 2         768     92160    384       256      64
(661)

ainsi que

            4                           k
L4(i) = --7p---+ ib(4) o`u b (n) =  sum --(--1)-n
         11520                  k>0(2k+ 1)
(662)

  (   (1-+-i))    ln42   5p2ln2-2  -5   (1-)   343p4
 R  L4    2     =  96 -    768  + 16L4   2  + 92160
(663)

qui correspond au calcul de I(3)
 4  dans mon papier ”formules BBP”, on obtient

pict

On applique les mêmes substitutions pour k = 2,p = 2  et k = 3,p = 1  . On obtient alors en considérant la partie réelle (la partie imaginaire ne donne rien d’utilisable)

pict
pict

En combinant les différentes équations obtenues, on en déduit

+ sum  oo      (8H3    6H2    3H  )    127p4   93z(3)ln 2   p2ln2 2  ln42
   (-1)n  ---n- --2n + --n3-  = ------ + ----------  ------+ ---- - 4G2
n=1        n     n      n        1440       8         2       4
(667)

13.3.5 Avec          V~ -
x = 1+ i--3
    2    2

On utilise dans ce cas les résultats suivants.
Si on pose

pict

(mgl signifie ”multiple Glaishers” et mcl signifie ”multiple Clausen”) alors

pict

Bn  est le énième polynôme de Bernoulli.

Puis la formule de duplication

                   1    (  )
Ln (z)+ Ln(- z) =-n-1Ln  z2
                 2
(672)

avec      ip
z = e 3   qui permet d’exprimer    ( 2ip)
Ln  e 3 et    ( 4ip )
Ln  e 3 à l’aide de mgl (n)  et mcl(n)  .

Remarque 25 Le calcul de   (   )
L3 e ip3- = z(3) + 5ip3
           3    162   donne la série

+ oo    (np)     3
 sum  sin--3- = 5p-
n=1   n3     162
(673)

qui peut aussi s’écrire

                                       V~ 
1   1-  -1   1-  -1   1-  -1-        5-3- 3
1 + 23 - 43 - 53 + 73 + 83- 103 - ...= 243 p
(674)

On obtient alors les résultats suivants :

Avec k+ p = 2

 + sum  oo  Hn   (np-)    p2-
     n cos  3   = -36
n=1
(675)

la convergence de cette série se justifie par sommation par paquets.
On obtient aussi (sous réserve de convergence, mais elle est au mieux si lente que c’est difficile à vérifier ! ! !)

+ sum  oo  Hn   (np )
   -n-sin  3-- = -mcl (2)
n=1
(676)

mais

          + sum  oo    (np)
mcl(2) = -   sin--3-
          n=1   n2
(677)

d’où

pict

soit

   H     H    H    H    H     H
0 =--1 - -3-- --4+ --6+ --7-  -8-- ...
    2    4     5    6    7    8
(679)

Avec k+ p = 3

+o o       (  )
 sum   H2n-sin  np- = p3-
n=1 n       3    36
(680)

ce qui donne

                                           V~ 
H21-  H22-  H24   H25-  H27  H28   H29-     p3-3-
1  +  2 -  4  - 5  +  7 +  8  -  9 ...=  54
(681)

la convergence de cette série se justifie par sommation par paquets.

+ oo       (   )
 sum  Hn-sin  np- = 11-p3
n=1 n2     3     324
(682)

ce qui donne

                                  V~ -
H1-   H2-  H4-  H5-  H7-       11--3 3
 1 +  22 - 42 - 52 +  72 + ...=  486 p
(683)

on a également

1                + sum o o  Hn   (np )
3 pmcl(2)+ z(3) =    n2-cos -3-
                 n=1
(684)

Avec k+ p = 4  on obtient la belle formule suivante

+ sum o o  Hn   (np )   17p4
    n3-cos -3- =  4860-
n=1
(685)

les autres font intervenir des mcl(2),  mcl (4)....
Par exemple

pict

ce qui donne avec

              (  )
        + sum  oo  sin-np3
mcl(4) =      n4
        n=1
(688)

pict

13.3.6 Avec           V~ 
x = -12 + i23-

En utilisant l’égalité

   (      V~ -)       (       V~ -)
     3  i--3           1   i-3-   p2-  ipln(3)
L2   2-  2    = -L2  - 2 +  2   + 18 -    3
(690)

et sa conjuguée, on obtient

pict

dont la convergence est assurée par paquets.

En combinant avec (675), on obtient

  2     +o o    (    (     )      (   ))
ln-(3)=  sum   Hn- 2 cos  2np- - 5 cos  np-
  4     n=1 n          3           3
(692)

13.3.7 Avec x = 1+  i
    2   2

Pour k+ p = 2  On obtient avec  1
f1  les deux formules suivantes qui sont remarquables

pict
pict

et avec  2
f0 ,  les deux égalités

pict
ln2(2)  p2   p ln (2)       + sum  oo  H2n  (np )
--8---- 96-+ ---8-- + G =    2n2-sin  -4-
                          n=1
(696)

Avec les fonctions  k
gp,  on a

pict

Avec k+ p = 3  La fonction g30  donne immédiatement

 13       p2ln(2)  ln3(2)  + sum  oo  H3n    ((n + 1)p)
-16z (3) + --192--+ --48--=     -n+21sin  ----4---
                           n=1 2
(698)

 2
f1  et   1
f2  donnent

pict

13.4 Généralisations

13.4.1 Sommes d’Euler

Si on définit H(qn)= 1 + 1q +-1q + ..+ 1q
          2   3       n  (somme partielle de z(q)  ), on a le théorème d’Euler.
Si       + sum  oo   (q)
Sp,q =   H-np-,
      k=1 n  alors Sp,a + Sq,p  s’exprime à l’aide de z(p),z(q)  et z(p+ q)

On a des relations avec les polylog : + sum  oo   (q)    Lq (x)
   Hn  xn =-1--z-
k=1  . En intégrant on a par exemple

  oo 
 sum  H(2n)= 5z (3)
n=1 2nn  8
(701)

13.4.2 Une formule combinant Harmoniques et combinatoire

Voici une petite série que j’ai trouvée récemment en novembre 2001, mélangeant les combinaisons et les sommes harmoniques ! On peut peut-être trouver une preuve plus simple, quoique je la trouve assez élégante finalement.

D’accord, c’est un cas assez particulier, je ne sais pas si l’on peut trouver d’autres séries de ce type (et numériquement je n’en ai pas trouvé), mais cela vaut le coup de farfouiller un peu !

Proposition 26 Avec Cn2n  et les sommes harmoniques :
Si l’on note H(n) =  sum nk=1 1k  , on obtient

        (           )
 sum  oo  H(n) 18   --9---    2
    Cn2n   n -  2n+ 1  = p
n=0
(702)

Preuve. Posons an = HC(n2nn)n  . Alors

pict

donc

 sum  oo    n   sum  oo      n+1   sum  oo -H(n)xn+1-    sum  oo ------xn+1------
    anx =     an+1x    =    2Cn2n(2n + 1) +   2Cn2n(n + 1)(2n + 1)
n=1       n=0           n=0              n=0
(704)

donc en particulier en x = 1  et en regroupant les deux séries contenant des H(n)  , on obtient

 oo  sum  H(n) (1       1    )    oo  sum          1
   -Cn--  n-- 2(2n-+-1)  =    2Cn-(n+-1)(2n+-1)
n=0  2n                   n=0  2n
(705)

ce qui simplifie un peu le travail !

L’astuce     1         2      1
(n+1)(2n+1) = (2n+1)- (n+1)  ne semble hélas pas utile car la série en  1
n+1  se révèle difficile à calculer il me semble... Passons par un autre chemin.

Notons ainsi que l’on a                 V~       V~ 
 sum o o n=1 22nnC-n1xn =-xa V~ rcsin(-x)
        2n          1-x  soit  sum o o n=1 22nnC-n1x2n = xa V~ rcsin(x2)= f (x)
        2n        1-x  .

Donc

pict

par intégration par parties. Donc puisque  integral              [V ~ ------       ]    integral 
 0xua V~ r1cs-inu(2u)du =  -  1- u2arcsin (u) x0 + 0xudu  par intégration par parties, tout simplement,

pict

sur le rayon de convergence (x < 1  ).

Il reste à intégrer cette série correctement pour trouver un terme en  1
(n+1)-   :

 sum  oo         2n                integral  x(           )                    2
    -------2---------x2n+2 =     a V~ rcsin(u)- u  du = 1arcsin2(x)-  x-
n=1 2(n + 1)(2n + 1)Cn2n         0     1- u2           2            2
(706)

soit en ajoutant le terme pour n = 0   :

 sum  oo ------22n------- 2n+2   1     2
   2(n +1)(2n+ 1)Cn x     = 2 arcsin (x)
n=0               2n
(707)

On utilise maintenant 705 pour obtenir

 oo  sum  H(n) (1       1    )          (1 )   p2
   --n--  --- --------  = 2arcsin2  -  = ---
n=0 C2n   n   2(2n + 1)             2    18
(708)

donc finalement

  oo      (           )
 sum  H(n)-  18-  --9--- = p2
n=0 Cn2n   n    2n + 1
(709)

 _

13.4.3 Une autre formule

On trouve aussi des formules avec des sommes harmoniques spéciales telles que la formule de Bradley :

      sum  oo     n      sum n
2G =    ----2------   ---1--
     n=0(2n + 1)Cn2n k=02k + 1
(710)

ou encore cette représentation de G  qui présente de troublantes ressemblanes avec la précédente !

     sum  oo  (--1)n+1-n sum -1-(--1)k
G =       n       2k + 1
    n=1        k=0
(711)

La preuve est disponible dans [10].

13.4.4 Harmoniques d’harmoniques !

D’après le Gradshteyn [9] (1.516), on peut obtenir immédiatement

          oo             n        k
ln3(2) = 6  sum ----1----- sum   -1--- sum  -1
        n=1 (n+ 2)2n+2k=1 k+ 1m=1 m
(712)


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