13 Séries harmoniques

Les formules BBP s’expriment par exemple comme combinaisons linéaires de cette fonction hypergéométrique mais bien plus de choses nous attendent en fait ! Car grâce aux représentations intégrales, on peut en fait également obtenir des séries harmoniques de même forme que toutes celles que l’on vient de trouver.

Les séries harmoniques sont celles dont le terme contient la somme harmonique .

13.1 Proximité des séries harmoniques et des polylogarithmes

Nous avons vu que les formules BBP ou factorielles sont des combinaisons d’intégrales du type .

Considérons maintenant l’intégrale équivalente à la série de terme la somme harmonique . D’après la formule du produit de Cauchy selon laquelle pour des séries absolument convergentes et

(587)

où , en choisissant et on obtient et donc

(588)

Vous commencez à voir ce que je veux dire... :-) Dès qu’une intégrale utilisera ce genre de formule, on aura de l’hamonique dans le coin. Ici, on a immédiatement en la formule

(589)

Avec on avait du polylogarithme (voir 35), qu’à cela ne tienne, on divise par l’expression 588 ! Et en intégrant ensuite entre et , on a

Or, comme , on obtient finalement que

(591)

Fort, non ? évidemment, cela rappelle beaucoup de choses, on nage en pleins polylogarithmes et logarithmes...

On peut étudier plus généralement les séries harmoniques de ce type et les formules qui en découlent en introduisant les notations de Gery Huvent (encore lui !). Toutes les formules ci-dessous qui ne sont pas encore connues peuvent lui être attribuées !

13.2 Etude de et de

13.2.1 Définition, relations remarquables

On pose

Ces séries ont un rayon de convergence égal à 1. La convergence a lieu sur le bord dès que (car ). Alors

Preuve.

donc

De même

(605)

 _

13.2.2 Calcul de certaines fonctions

Un développement usuel (faie le produit de Cauchy) donne

(606)

Puis par intégrations

(607)

et

(608)

Avant de continuer, examinons cette égalité. Pour la série définissant converge, mais le membre de droite de l’égalité précédente ne l’est pas. Cependant avec les formules d’Euler et de Landen, on obtient

La dernière égalité nous donne une expression de valable sur . Par prolongement analytique, on sait que les différentes expresions obtenues coincide là où elle sont simultanément définies.
On utilisera donc si nécessaire différentes expressions pour le calcul des fonctions en et .

On déduit du calcul de que

(611)

puis par intégration que

Enfin

(613)

et ainsi

On en déduit que

Par un calcul de primitive, on a

ce qui donne pour réel

et

et enfin

13.3 Application au calcul de certaines séries

On utilise les résultats précédent avec des valeurs judicieusement choisies pour

13.3.1 Avec

Les valeurs s’obtiennent plus facilement avec les fonctions Beta, par exemple

(628)

13.3.2 Avec

On obtient en prenant les valeurs des fonctions et en

(629)

En combinant, on obtient

(633)

Calcul de pour

(636)

Calcul de pour Pour résumé :

On peut combiner ces résultats et obtenir

(645)

13.3.3 Avec

La convergence de la série ne pose pas de problème pour on obtient alors

(646)

(647)

Pour on trouve formellement

Ce qui donne

(650)

Ces égalité se justifient car les séries alternées converge et par avec un théorème du type Tauber, on conclue.
Les deux égalités suivantes sont obtenues formellement par Maple, elle se vérifient numériquement mais je n’arrive pas à les justifier correctement.

ce qui donne en les soustrayant et avec

On a aussi

(654)

13.3.4 Avec

On obtient alors en considérant les parties réelles et imaginaires

La convergence est assurée en faisant pour réel et par passage à la limite en avec le lemme d’Abel.

Avec On obtient compte tenu de la valeur de et de l’égalité de Landen en

Or, il est prouvé dans [12] (calcul de )

(658)

ce qui donne

(659)

et permet d’obtenir avec

(660)

Avec Les calculs sont un peu plus compliqué, on utilise cette fois ci l’égalité (658), puis la formule d’inversion pour le polylogarithme d’ordre qui donne

(661)

ainsi que

(662)

(663)

qui correspond au calcul de dans mon papier ”formules BBP”, on obtient

On applique les mêmes substitutions pour et . On obtient alors en considérant la partie réelle (la partie imaginaire ne donne rien d’utilisable)

En combinant les différentes équations obtenues, on en déduit

(667)

13.3.5 Avec

On utilise dans ce cas les résultats suivants.
Si on pose

(mgl signifie ”multiple Glaishers” et mcl signifie ”multiple Clausen”) alors

où est le énième polynôme de Bernoulli.

Puis la formule de duplication

(672)

avec qui permet d’exprimer et à l’aide de et .

Remarque 25 Le calcul de donne la série

(673)

qui peut aussi s’écrire

(674)

On obtient alors les résultats suivants :

Avec

(675)

la convergence de cette série se justifie par sommation par paquets.
On obtient aussi (sous réserve de convergence, mais elle est au mieux si lente que c’est difficile à vérifier ! ! !)

(676)

mais

(677)

d’où

soit

(679)

Avec

(680)

ce qui donne

(681)

la convergence de cette série se justifie par sommation par paquets.

(682)

ce qui donne

(683)

on a également

(684)

Avec on obtient la belle formule suivante

(685)

les autres font intervenir des
Par exemple

ce qui donne avec

(688)

13.3.6 Avec

En utilisant l’égalité

(690)

et sa conjuguée, on obtient

dont la convergence est assurée par paquets.

En combinant avec (675), on obtient

(692)

13.3.7 Avec

Pour On obtient avec les deux formules suivantes qui sont remarquables

et avec les deux égalités

(696)

Avec les fonctions on a

Avec La fonction donne immédiatement

(698)

et donnent

13.4 Généralisations

13.4.1 Sommes d’Euler

Si on définit (somme partielle de ), on a le théorème d’Euler.
Si alors s’exprime à l’aide de et

On a des relations avec les polylog : . En intégrant on a par exemple

(701)

13.4.2 Une formule combinant Harmoniques et combinatoire

Voici une petite série que j’ai trouvée récemment en novembre 2001, mélangeant les combinaisons et les sommes harmoniques ! On peut peut-être trouver une preuve plus simple, quoique je la trouve assez élégante finalement.

D’accord, c’est un cas assez particulier, je ne sais pas si l’on peut trouver d’autres séries de ce type (et numériquement je n’en ai pas trouvé), mais cela vaut le coup de farfouiller un peu !

Proposition 26 Avec et les sommes harmoniques :
Si l’on note , on obtient

(702)

Preuve. Posons . Alors

donc

(704)

donc en particulier en et en regroupant les deux séries contenant des , on obtient

(705)

ce qui simplifie un peu le travail !

L’astuce ne semble hélas pas utile car la série en se révèle difficile à calculer il me semble... Passons par un autre chemin.

Notons ainsi que l’on a soit .

Donc

par intégration par parties. Donc puisque par intégration par parties, tout simplement,

sur le rayon de convergence ().

Il reste à intégrer cette série correctement pour trouver un terme en  :

(706)

soit en ajoutant le terme pour  :

(707)

On utilise maintenant 705 pour obtenir

(708)

donc finalement

(709)

 _

13.4.3 Une autre formule

On trouve aussi des formules avec des sommes harmoniques spéciales telles que la formule de Bradley :

(710)

ou encore cette représentation de qui présente de troublantes ressemblanes avec la précédente !

(711)

La preuve est disponible dans [10].

13.4.4 Harmoniques d’harmoniques !

D’après le Gradshteyn [9] (1.516), on peut obtenir immédiatement

(712)