6 Formules BBP en base 2 : ,, dans

6.1 Les intégrales considérées

Dnas le souci constant de décomposer nos intégrales en intégrales plus simples à calculer, on s’intéresse aux intégrales ”primaires” suivantes :

(83)

(84)

Dans [3], Broadhurst établi des relations entre différentes sommes de polylogarithmes. Cependant il ne semble pas envisager le lien avec les intégrales. On se propose de le faire. C’est pourquoi on introduit les intégrales suivantes :

Le lien entre les et les est le suivant :

6.2 La méthode

Le calcul des intégrales va fournir des combinaisons linéaires de constantes d’ordre comme ou grâce à leurs expressions sou la forme de polylogarithmes d’ordre . Mais dautre part, on peut obtenir des formules BBP avec les en utilisant ce que Gery Huvent appelle les tableaux de dénomination et qui ne sont que les expressions des sous la forme d’intégrales dont on a vu l’expression directe sous forme d’une série BBP avec la formule (69). Il reste à obtenir des séries BBP pour les constantes précises qui nous intéressent, ce qui revient à utiliser une certaine combinaison linéaire des . Pour ceci, on introduit de manière générale la forme linéaire . Puis l’on impose des relations entre les pour annuler les coefficients de vant les constantes qui ne nous intéressent pas. On obtient alors une série BBP pour ce qui reste, ou ou bien d’autres choses encore ! Voici les tableaux des dénominateurs. La méthode est ensuite détaillée sur un exemple.

où est un polynôme à coefficients entiers qui dépend à la fois de et du dénominateur choisi.

6.3 Formules pour , ,  et

Dans le cas où , on obtient, par un calcul des intégrales

6.3.1 Application aux formules BBP pour

Afin d’obtenir des formules pour on impose les relations suivantes :

.
On a alors

Pour avoir des formules BBP ayant peu de termes, on peut dans un premier temps imposer , ce qui donne

(113)

On consulte alors la table des dénominateurs. Pour simplifier une somme faisant intervenir et on écrit chaque intégrale sous la forme Ainsi

(114)

où est un polynôme dont les coefficients dépendent de et . Si l’on impose et on obtient la formule d’Adamchik-Wagon (cf [6] )

(Adamchik-Wagon)

Le choix de donne la formule de Plouffe (61). On peut maintenant chercher un dénominateur en . On reprend alors la formule (111) et on impose simplement .

On choisit les autres coefficients de manière à annuler le plus de coefficients de (en imposant ).
Le meilleur choix semble être
qui donne

On peut aussi chercher un dénominateur en en imposant le meilleur choix semble être
qui donne

En fait il s’avère que dans la dernière formule peut se simplifier en , ce qui donne la formule alternée :

(Bellard) (119)

(120)

On peut expliciter en écrivant que
.
Pour finir, le choix de conduit à

Et donne

6.3.2 Formules BBP pour et

On peut appliquer ces mêmes méthodes pour obtenir des formules pour , et .

6.4 Cas des polylogarithmes d’ordre  : Formules d’ordre 2

On peut remarquer qu’à l’ordre 1, c’est-à-dire pour des formules BBP donnant ou par exemple, on avait affaire à des intégrales de fractions rationnelles. Si l’on veut obtenir maintenant des séries de type BBP donnant ou ou , il va falloir introduire un logarithme au numérateur de l’intégrale. Plus précisément, pour une formule BBP d’ordre , il faudra considérer des intégrales du type . Ceci est dû au fait que l’on obtient alors des combinaisons de polylogarithmes d’ordre .

C’est ce que réalise encore une fois Gery Huvent [12], tout en notant également que les premières séries avaient été obtenues par Plouffe et que Broadhurst [3] en a également fourni. L’intérêt de l’ordre 2 est de pouvoir fournir des séries BBP pour une constante célèbre qui est la constante de Catalan définie par . Ceci montre, si on n’en était pas convaincu, que la constante de Catalan est ”homogène” à un ordre 2, c’est-à-dire qu’elle est sans aucun doute de même nature que ou concernant la répartition de ses digits en base 2 ou 16.

6.4.1 Les expressions classiques : et

Un résultat classique d’Euler est

(123)

Ce qui permet d’écrire que

(124)

L’équation de Kummer pour le polylogarithme d’ordre s’écrit (cf [4])

La formule d’inversion est

(Formule d’inversion)

et enfin la formule de duplication dans le cas général :

(Formule de duplication)

En appliquant l’équation de Kummer pour puis , on obtient deux égalités qui additionnées donnent

En utilisant formule la d’inversion pour et et la formule de duplication , on obtient

Par duplication, on a aussi

(128)

On en déduit

De la même manière, l’équation de Kummer pour puis , donnent deux égalités qui soustraites donnent une nouvelle égalité. En utilisant ensuite la formule d’inversion pour et et la formule de duplication pour et on obtient

(131)

Mais où est la constante de Catalan. Ainsi

(132)

6.4.2 Calcul de et

Proposition 2 On a

(133)

Preuve. L’équation de Kummer avec donne l’égalité

ce qui donne immédiatement le résultat cherché car
,

par la formule de duplication et la formule de Kummer pour donne  _

Proposition 3 On a

(134)

et

(135)

Preuve. L’équation de Kummer pour donne, compte tenu de

(136)

de même, l’équation de Kummer pour donne

(137)

A l’aide de la formule d’inversion

Ce qui permet de conclure que

et

Il reste donc à calculer la dernière somme de polylogarithmes. Mais on a gagné en simplicité car ces polylogarithmes font intervenir des racines de l’unité .
On utilise alors la formule de multiplication

(Formule de multiplication)

qui donne avec et

(144)

puis avec et

(145)

et permet facilement de conclure.  _

6.4.3 Calcul de relation entre et

L’équation de Kummer pour et et pour et donne deux égalités qui additionnées fournissent

Ce qui se traduit par

(147)

et permet d’affirmer que

(148)

Si, au lieu de les additionner, on soustrait ces égalités, on obtient

ce qui donne

(150)

i.e.

(151)

6.4.4 Application à la détermination de formules BBP

On considère maintenant la forme linéaire . Compte tenu des égalités (123), (124), (129), (130), (132), (133), (134), (135) et (148), on a

Formules pour Afin d’obtenir des formules BBP pour on impose les relations suivantes :

pour obtenir l’égalité

Il suffit maintenant de particulariser les variables pour obtenir des formules simples.

Quelques formules simples déjà connues pour

On obtient ces formules en choisissant les intégrales qui donnent un dénominateur de plus bas degré dans le tableau de correspondance.
Détaillons une dernière fois un exemple :
Afin d’obtenir un dénominateur de la forme de plus bas degré (en l’occurrence ), on choisit de manière à faire disparaître et . On a alors

Cette égalité permet de donner la formule générale à paramètres

(160)

Afin de ne pas alourdir l’exposé seules les formules à paramètres qui correspondent au dénominateur en seront données. Il en existe qui sont associées à d’autres dénominateurs (par exemple ).
Revenons à l’égalité (159), si l’on choisit de poser et cette égalité devient

(161)

On peut traduire cette égalité sous forme de somme de formule BBP.

On peut ramener cette intégrale à un dénominateur de la forme à l’aide du tableau de correspondance pour obtenir

(163)

qui donne l’égalité suivante

(164)

ou

(165)

Cette égalité est déjà mentionnée par Plouffe dans [1]
Le choix de donne

ce qui donne la formule suivante due à Plouffe :

Quelques formules simples et nouvelles

Une autre solution consiste à garder les intégrales qui fournissent des dénominateurs de la forme de degré élévé mais d’ajuster les paramètres de manière à avoir beaucoup de coefficients nuls dans les formules BBP.
De bon choix semblent être les suivants :
qui donne la formule à termes

Le polynôme n’ayant que des puissances impaires, cette formule peut se simplifier pour donner

qui donne la formule à termes

qui donne la formule à termes (remarquer le ) :

Si l’on s’intéresse aux formules ayant le moins de termes, citons que d’autres formules à termes ( ) et à termes () existent.
On peut également chercher des séries alternées, par exemple
donne

(Huvent)

Remarque

Les égalités intégrales permettent aussi d’écrire de différentes façons comme somme de formule BBP.
Par exemple, le résultat (Huvent) ( ) donne l’égalité intégrale

Ce qui peut s’écrire

Formules pour les constantes et Pour

La même méthode conduit à la formule générale pour (lorsque l’on impose un dénominateur en )

(Huvent)

En ajustant les coefficients et on dispose de formules ayant termes qui sont de la forme

Une des plus simples semble être

Une autre formule à termes est obtenue pour

Pour terminer donne

Pour la constante de Catalan

De même, en imposant un dénominateur en on obtient

Le cas le plus intéressant est obtenue quand tous les sont nuls excepté que l’on prend égal à . On obtient ainsi

L’intérêt de cette formule réside dans les coefficients de qui sont tous des puissances de .
Le choix de permet d’écrire
où a coefficients non nuls.
Pour finir donne où a coefficients non nuls.

Pour

On obtient

(173)

Le cas le plus simple est donné par qui conduit à

Le choix de conduit à où a coefficients non nuls.

6.4.5 Quelques formules composites

Dans la détermination de formules BBP, on a systématiquement annulé les coefficients de et . Si l’on décide alors de garder ces termes, on obtient parmi les formules possibles, les résultats suivants :
donne

(174)

qui se simplifie en

Cette formule est équivalente à la formule (167). Si on applique cette idée pour la constante de Catalan, on obtient avec l’égalité

Ce qui sous forme de séries donne les deux égalités suivantes :

La même idée conduit, avec à

et avec à

Ce genre de formule n’a pas systématiquement été recherché.

6.5 Cas des polylogarithmes d’ordre 3

L’ordre 3 introduit bien entendu des formules donnant et autres mais surtout la célèbre constante démontrée irrationnelle par Apéry en 1978 [14] au moyen d’un développement en fraction continue d’une formule factorielle dont on parle un peu plus loin justement.

Cette constante reste toutefois mystérieuse, et les formules BBP montrent intuitivement que cette constante n’est sans doute pas très différente du point de vue de l’ordonnancement de ses décimales et donc de sa complexité.

L’équation de Kummer pour le trilogarithme s’écrit

et la formule d’inversion

(181)

Un résultat classique permet d’affirmer que

(182)

et par définition

(183)

6.5.1 Calcul de

L’équation de Landen pour le trilogarithme (cf [4] ) est

Appliquée à on obtient (avec )

(185)

résultat implicitement contenu dans [3].
On en déduit par la formule de duplication que

(186)

6.5.2 Calcul de

Comme pour le calcul de on utilise l’équation de Kummer avec puis avec On additionne alors les deux équations obtenues. On simplifie ces équations à l’aide de la valeur de et de l’égalité . Ceci permet d’affirmer que

(187)

6.5.3 Relation entre et valeur de

On reprend les deux premières équations du calcul de que l’on soustrait cette fois ci. On utilise ensuite la formule d’inversion avec et de manière à faire apparaître le terme . Enfin une dernière application de la formule d’inversion avec et avec conduit à

Ce qui prouve que

(189)

Si l’on utilise l’équation de Kummer avec et puis avec et on obtient deux égalités que l’on soustrait. On simplifie le résultat obtenu avec la formule d’inversion appliquée à et pour obtenir

Cette égalité se traduit à l’aide des intégrales par

(191)

et donne la relation

(192)

Si, au lieu de soustraire les égalités obtenues précédemment, on les additionne, on obtient :

ce qui donne

(194)

et fournit

(195)

6.5.4 Calcul de

Comme pour le calcul de l’équation de Kummer pour le polylogarithme d’ordre avec , puis la formule d’inversion avec conduit immédiatement à

6.5.5 Application à la détermination de formules BBP

Considérons maintenant la forme linéaire . Alors les résultats précédents permettent d’affirmer que

Formules pour Si l’on cherche des formules pour on annule les coefficients des constantes
... pour obtenir

On ne peut pas choisir ce qui impose d’utiliser un dénominateur en pour les formules BBP donnant . En toute généralité, on obtient ainsi une formule BPP pour ayant deux paramètres ( et ), formule que le lecteur pourra établir. La formule la plus simple est alors obtenue pour et a termes. Afin de l’écrire, on introduit les polynômes définies par , par exemple .
On a alors

Cette égalité peut s’écrire autrement.
En effet
Mais et
où a coefficients non nuls en général, et seulement si ou ou .
Si l’on applique cette remarque ici, on a
ce qui donne

Cette formule peut aussi s’écrire

Formules pour Pour obtenir une formule BBP simple pour , on applique la même idée que pour (le problème s’avère être le même, il faut utiliser ce qui donne un dénominateur en et donne une expression à deux paramètres)
On obtient ainsi avec

Cette formule peut aussi s’écrire

Comparer avec celles obtenues pour .

Formules pour Pour on obtient, si l’on cherche un dénominateur en

Ce qui donne la formule générale

(Huvent)

La formule BPP la plus simple est obtenue pour

On peut aussi utiliser la remarque suivante :

Mais et

Si on impose alors dans (203), on a
ce qui donne

Enfin la formule la plus simple pour un dénominateur en est obtenue avec
et contient termes.

Formules pour On obtient la formule générale suivante

(Huvent)

Avec , on a la formule à termes

Cette relation est remarquable, en effet l’égalité (204) est obtenue pour . 
Cela conduit à poser

Alors

Enfin la formule la plus simple avec un dénominateur en est obtenue avec
et comporte termes.

Formules pour On a la formule générale

(Huvent)

et la formule la plus simple est obtenue pour

Et celle ayant un dénominateur en est donnée par

6.6 Cas des polylogarithmes d’ordre 4

6.6.1 Les relations

Pour les polylogarithmes d’ordre et on ne dispose plus que d’un seul outil, à savoir l’équation de Kummer. Elle s’écrit, avec

et la formule d’inversion

(214)

On applique alors la méthode suivante :
- Utilisation de la formule de Kummer en un couple particulier
- Elimination des polylogarithmes d’argument de module supérieur à par la formule d’inversion
- Simplifications éventuelles à l’aide de la formule de duplication ou des valeurs de en et .

• Avec on obtient Ce qui se traduit avec les intégrales et par
  
• Avec on obtient
  

  On obtient une seconde égalité par conjugaison (ou avec ). On additionne, ou soustrait les deux égalités obtenues et en remplaçant par où , cela fournit

  

  et

  
• Avec on obtient

  (221)

  On utilise alors la formule de multiplication

  (222)

  qui avec permet d’affirmer que

  (223)

  et que

  (224)

• Enfin, avec , on obtient

  (225)

  En considérant la partie réelle et la partie imaginaire de cette expression, on a respectivement
  

6.6.2 Application à la détermination de formules BBP

On considère maintenant la forme linéaire . Alors les résultats précédents fournissent

6.6.3 Formules pour et

Pour La formule la plus simple (et la seule associée à un dénominateur en ) est obtenue pour et donne

Il existe une formule à deux paramètre ayant un dénominateur en , la plus simple est donnée par

Pour La formule la plus simple est obtenue pour
et donne

Pour Avec on obtient

Le cas de et Il n’est pas possible de déterminer des formules pour ces constantes, on ne trouve que deux relations indépendantes qui sont :

Cela montre qu’il suffit de trouver une formule pour l’une des trois constantes et pour en déduire une pour les deux autres.

6.7 Cas des polylogarithmes d’ordre 5

6.7.1 Les relations

Broadhurst dans [3] exhibe des relations entre les intégrales et à l’aide de l’équation de Kummer (relations à . Puis découvre deux égalités de façon numérique (relations et ). Il prouve alors la relation en utilisant les séries hypergéométriques et les sommes d’Euler. Il en déduit alors quatre égalités pour (relation )
On peut établir ces quatre égalités directement à l’aide de la formule de Kummer qui s’écrit avec

On applique alors la même démarche que pour les polylogarithmes d’ordre 4.

• Avec on obtient, compte tenu de
  
  

  ce qui donne

  

  Ce qui se simplifie en, en utilisant

  
• Avec on obtient
  

  qui se traduit par

  
• Avec , on obtient
  

  On simplifie cette égalité à l’aide de et de la formule de multiplication , qui avec permet d’obtenir .
  Ainsi

  
• Avec on obtient
  

  ce qui donne

  

6.7.2 Application à la détermination de formules BBP

On considère maintenant la forme linéaire . Les résultats précédents donnent

(266)

6.7.3 Formules pour et

On en déduit des formules pour les constantes et . On rappelle que les polynômes sont définis par . 
On obtient alors
avec

avec

avec

avec

6.7.4 Simplifications de ces formules

Ces formules peuvent se simplifier en faisant apparaître le terme . Par exemple

ce qui donne

De même