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6 Formules BBP en base 2 : s  (-  N  ,v = pq  , x = 12n-  dans Y

6.1 Les intégrales considérées

Dnas le souci constant de décomposer nos intégrales  integral  1lnk(y)R (y)
   ----------dy
 0    Q (y)  en intégrales plus simples à calculer, on s’intéresse aux intégrales ”primaires” suivantes :

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pict
pict
pict
                  V~ -                      V~ -
       1         --3            1        --3
o`u s1 = 2 (1+ i)+ 2 (1- i), s2 = 2 (1+ i)- 2 (1- i)
(83)


    1          V~ 3           1          V~ 3
s3 = 2 (1 - i)+ 2--(1 + i), s4 = 2 (1- i)--2-(1+ i)
(84)

pict

Dans [3], Broadhurst établi des relations entre différentes sommes de polylogarithmes. Cependant il ne semble pas envisager le lien avec les intégrales. On se propose de le faire. C’est pourquoi on introduit les intégrales suivantes :

pict

Le lien entre les J(k)
 n  et les I(k)
 n  est le suivant :

pict
pict


6.2 La méthode

Le calcul des intégrales I(nk)  va fournir des combinaisons linéaires de constantes d’ordre k + 1  comme pk+1  ou z(k + 1)  grâce à leurs expressions sou la forme de polylogarithmes d’ordre k+ 1  . Mais dautre part, on peut obtenir des formules BBP avec les   I(kn)  en utilisant ce que Gery Huvent appelle les tableaux de dénomination et qui ne sont que les expressions des I(k)
 n  sous la forme d’intégrales        integral 1 P(y)lnk(y)
       0   yn- a  dont on a vu l’expression directe sous forme d’une série BBP avec la formule (69). Il reste à obtenir des séries BBP pour les constantes précises qui nous intéressent, ce qui revient à utiliser une certaine combinaison linéaire des  (k)
In  . Pour ceci, on introduit de manière générale la forme linéaire                 11
L  (a  ,...,a  ) =  sum  a I(k)
 k   1    11   n=1 n n  . Puis l’on impose des relations entre les a
 n  pour annuler les coefficients de vant les constantes qui ne nous intéressent pas. On obtient alors une série BBP pour ce qui reste, p  ou log(2)  ou bien d’autres choses encore ! Voici les tableaux des dénominateurs. La méthode est ensuite détaillée sur un exemple.

pict
pict
pict
pict

P  est un polynôme à coefficients entiers qui dépend à la fois de n  et du dénominateur choisi.

6.3 Formules pour p  , ln(2)  ln(3)  et ln(5)

Dans le cas où k = 0  , on obtient, par un calcul des intégrales

pict

6.3.1 Application aux formules BBP pour p

Afin d’obtenir des formules pour p,  on impose les relations suivantes :
(-a2 - a3- a4 - 2a7- 2 a8- 4a10 -a1) = (a2 + a7) = (a3 +a10)
= (2a6 - 2a11) = 0  .
On a alors

pict

Pour avoir des formules BBP ayant peu de termes, on peut dans un premier temps imposer a  = a   = a = a  = a = 0
 11   10    9   8    7  , ce qui donne

a5-p = - a I(0)+ a I(0)+ a I(0)
 2       4 1    4 4     5 5
(113)

On consulte alors la table des dénominateurs. Pour simplifier une somme faisant intervenir I1,I4  et I5,  on écrit chaque intégrale sous la forme  integral 1Pn8(y)4dy,
0 y -2  n = 1,4,5.  Ainsi

a5-       (0)     (0)     (0)   integral  1-P (y)    -1-     ( 4       )
2 p = -a4I1  + a4I4 + a5I5  =  0 y8- 24dy = 24 BBP0  2 ,8,P (y)
(114)

P  est un polynôme dont les coefficients dépendent de a4  et a5  . Si l’on impose a5 = 1  et a4 = - 4r- 1  on obtient la formule d’Adamchik-Wagon (cf [6] )

     sum  oo    (                                              )
p =    -1-  8r+4-  -8r--- -4r-+  -8r-2+ -2r-1 + -2r-1 + -r--
    i=016i  8i+1   8i+2   8i+3   8i+4    8i+5    8i+6    8i+7
(Adamchik-Wagon)


Le choix de a4 = -a5 = 1  donne la formule de Plouffe (61). On peut maintenant chercher un dénominateur en y24- 212  . On reprend alors la formule (111) et on impose simplement a11 = a10 = 0  .

pict

On choisit les autres coefficients de manière à annuler le plus de coefficients de P  (en imposant a5 /= 0  ).
Le meilleur choix semble être
[ai] = (a1,...,a11) = (0,- 1,0,1,1,0,1,-1,-1,0,0)  qui donne

pict

On peut aussi chercher un dénominateur en y40- 220  en imposant a  = a  = a = 0,
  9   8    7  le meilleur choix semble être
[a ] = (a ,...,a  ) = (0,0,0,0,-2,1,0,0,0,0,1)
  i     1    11  qui donne

pict

En fait il s’avère que dans la dernière formule -P40(y)20
y  -2   peut se simplifier en -Q20(y)10
y +2   , ce qui donne la formule alternée :

 p = -1BBP0  (- 210,20,2y17- 5y14- 8y13- 8y9- 128y5- 160y4 + 512y)
     26
  1-  oo  sum  (-1)i( -512--  -160-  -128-  --8---  --8---  --5---  --2--)
= 64    210i  20i+2 - 20i+5 - 20i+6 - 20i+10 - 20i+14 - 20i+15 + 20i+18
    i=0
(Bellard)

(119)
Enfin si l’on considère la formule (111) en toute généralité, elle peut s’écrire 1 (a  + a )p =  integral 1-P(y)-dy
2   11    5     0y120- 260  , il reste à choisir judicieusement les (ai)i  . Le choix qui conduit à une formule ayant le moins de termes possible semble être
[ai] = (a1,...,a11) = (0,0,0,0,0,1,0,0,- 2,0,1)  et donne
     1       (60         )
p = 256BBP0   2 ,120,P (y) o`u P (y) a 42 coefficients non nuls
(120)

On peut expliciter P  en écrivant que
                            integral 1-P(y)--
L0 (0,0,0,0,0,1,0,0,-2,0,1) = 0 y120- 260dy  .
Pour finir, le choix de [a] = (0,0,0,0,0,1,0,0,-2,0,1)  conduit à

pict

Et [a] = (0,0,0,0,2,0,0,0,-2,0,0)  donne

pict

6.3.2 Formules BBP pour ln (2), ln (3)  et ln(5)

On peut appliquer ces mêmes méthodes pour obtenir des formules BBP  pour ln(2)  , ln (3)  et ln(5)  .

6.4 Cas des polylogarithmes d’ordre 2   : Formules d’ordre 2

On peut remarquer qu’à l’ordre 1, c’est-à-dire pour des formules BBP donnant p  ou ln(2)  par exemple, on avait affaire à des intégrales de fractions rationnelles. Si l’on veut obtenir maintenant des séries de type BBP donnant p2  ou p *ln(2)  ou ln(2)2  , il va falloir introduire un logarithme au numérateur de l’intégrale. Plus précisément, pour une formule BBP d’ordre n  , il faudra considérer des intégrales du type  integral  ln(x)n-1P(x)dx
     Q(x)  . Ceci est dû au fait que l’on obtient alors des combinaisons de polylogarithmes d’ordre n  .

C’est ce que réalise encore une fois Gery Huvent [12], tout en notant également que les premières séries avaient été obtenues par Plouffe et que Broadhurst [3] en a également fourni. L’intérêt de l’ordre 2 est de pouvoir fournir des séries BBP pour une constante célèbre qui est la constante de Catalan définie par G =  sum o o -(-1)n-
      n=0(2n+1)2   . Ceci montre, si on n’en était pas convaincu, que la constante de Catalan est ”homogène” à un ordre 2, c’est-à-dire qu’elle est sans aucun doute de même nature que   2
p  ou p *ln(2)  concernant la répartition de ses digits en base 2 ou 16.

6.4.1 Les expressions classiques :  (1)  (1)  (1)  (1)
I1 ,I2 ,I3 ,I4  et  (1)
I5

Un résultat classique d’Euler est

       2    2
I(11) = p--  ln-(2)-
      24     4
(123)

Ce qui permet d’écrire que

                        (  )
 (1)    p2-  ln2(2)  1    1
I2  = -24 +   4   + 4L2  4
(124)

L’équation de Kummer pour le polylogarithme d’ordre 2  s’écrit (cf [4])

pict

La formule d’inversion est

  (  )
    1             p2-  ln2(-z)
L2  z  = - L2(z)-  6 -    2
(Formule d’inversion)

et enfin la formule de duplication dans le cas général :

L (z)+ L (- z) =--1-L  (z2)
 k      k       2k-1  k
(Formule de duplication)


En appliquant l’équation de Kummer pour x = 1-2-i, y = 12  puis x = 1+2i, y = 12  , on obtient deux égalités qui additionnées donnent

pict

En utilisant formule la d’inversion pour z = - 1+ i  et z = - 1- i  et la formule de duplication , on obtient

pict

Par duplication, on a aussi

  (     )     (     )     (      )      (      )       (   )
    1+-i        1--i        -1--i-       --1+-i    1      1
L2   2    + L2   2    + L2    2    + L2    2     = 4L2  - 4
(128)

On en déduit

pict

De la même manière, l’équation de Kummer pour x = 1-2i, y = 12  puis x = 1+2i, y = 12  , donnent deux égalités qui soustraites donnent une nouvelle égalité. En utilisant ensuite la formule d’inversion pour z = - 1+ i  et z = - 1- i  et la formule de duplication pour           1+2i  et 1-2i,  on obtient

   (     )     (     )
L   1-+-i - L   1---i - (L  (i)- L (- i))+ ip-ln(2) = 0
  2   2       2   2       2      2          4
(131)

Mais          p2-
L2(i) = - 48 + iG  G  est la constante de Catalan. Ainsi

 (1)   (   (1 - i)     (1 + i))   p ln (2)
I5 = i  L2  -2--  - L2  -2--   = ---4-- - 2G
(132)

6.4.2 Calcul de I(71),I(18)  et I(91)

Proposition 2 On a

       2      (  )
I(17)=  p-+ 1 L2  1
      72  4     4
(133)

Preuve. L’équation de Kummer avec         V~ 
x = 1-i2-3, y = 12   donne l’égalité

pict

ce qui donne immédiatement le résultat cherché car
L  (1)= p2 - ln2(2)
  2 2    12     2   , L (1)+ L  (- 1)= 1L  (1),
 2 2     2   2   2 2  4
   (1+i V~ 3)    (1-i V~ 3)    (-1+i V~ 3)    (--1- i V~ 3)
L2    2   + L2    2   + L2     2    +L2     2
    (  (     V~ -)     (     V~ -))
= 1  L2  -1+i-3 + L2  -1-i-3
  2        2            2 par la formule de duplication et la formule de Kummer pour           V~ -
x = y = 1-i-3
         2   donne    (     V~ -)    (     V~ -)     2
L2  -1+i2-3  +L2  -1-i2-3  = - p-.
                             9   _

Proposition 3 On a

       2    2
I(81)= 5p--  ln-(2)-
     36      2
(134)

et

I(91) = -2G-
        3
(135)

Preuve. L’équation de Kummer pour     1+i     1-i V~ 3
x = -2-, y =--2--   donne, compte tenu de
                (         )
L2 (1 - i) = p126- i G + p-ln4(2) :

                         (          )      (    )     (      )
L  (s )+ L  (s ) = 17-p2- i G + p-ln-(2)  - L   e-ip6  - L   e-5ip6-
 2  1    2  2    144              4       2           2
(136)

de même, l’équation de Kummer pour                V~ 
x = 1-2i, y = 1-i2-3   donne

                 17      (     pln(2))     ( ip)     (  5ip)
L2 (s3)+ L2 (s4) = ---p2 + i G+  ------ - L2  e 6  - L2  e 6
                 144             4
(137)

A l’aide de la formule d’inversion

pict

Ce qui permet de conclure que

pict

et

pict

Il reste donc à calculer la dernière somme de polylogarithmes. Mais on a gagné en simplicité car ces polylogarithmes font intervenir des racines de l’unité .
On utilise alors la formule de multiplication

         q sum -1  (  2ikp-)
L2(zq) = q  L2  e q z
         k=0
(Formule de multiplication)

qui donne avec z = -i  et q = 3

1          ( ip)     (  5ip)
-L2 (i) = L2 e 6  + L2  e 6  + L2 (- i)
3
(144)

puis avec z = i  et q = 3

1           (   ip-)     (   5ip)
-L2(- i) = L2  e- 6  + L2  e- 6   + L2(i)
3
(145)

et permet facilement de conclure.  _

6.4.3 Calcul de  (1)
I10 ,  relation entre  (1)
I6  et  (1)
I11

L’équation de Kummer pour x = -1  et y = 1+ i  et pour x = -1  et y = 1 -i  donne deux égalités qui additionnées fournissent

pict

Ce qui se traduit par

               (  1)   1        p2
J(51)=  2J(13)+ L2  - -  + -ln2(2)- ---
                  4    4        16
(147)

et permet d’affirmer que

       2     2         (   )
I1(10)= 2p- - ln-(2)+ 1L2  - 1
      15     2     4      4
(148)


Si, au lieu de les additionner, on soustrait ces égalités, on obtient

pict

ce qui donne

 (1)    ( (1)    (1))  p-ln-(2)
J6 = 2  J2 - J4   +    4
(150)

i.e.

I(1)+ I(1)= p-ln-2- 12G
 6    11     4     5
(151)

6.4.4 Application à la détermination de formules BBP

On considère maintenant la forme linéaire L (a ,a ,...,a  ) = a I(1)+ ...+ a I(1)
 1  1  2    11     11         1111  . Compte tenu des égalités (123), (124), (129), (130), (132), (133), (134), (135) et (148), on a

pict

Formules pour p2   Afin d’obtenir des formules BBP pour p2,  on impose les relations suivantes :
(- 1a  + 1a  + 1a - 1 a - 1 a - 1a  )= (- 2a  - 2a -  12-a  )
   4 1   4 2   4 3  4  4  2  8  2 10        5   3 9   5  11
= (a + a  ) = (a  + a ) = (a + a ) = (a -a  ) = 0
    5    11     2    7     3   10     6    11  pour obtenir l’égalité

pict

Il suffit maintenant de particulariser les variables pour obtenir des formules simples.

Quelques formules simples déjà connues pour p2

On obtient ces formules en choisissant les intégrales qui donnent un dénominateur de plus bas degré dans le tableau de correspondance.
Détaillons une dernière fois un exemple :
Afin d’obtenir un dénominateur de la forme yb- a  de plus bas degré (en l’occurrence y24- 212  ), on choisit a9 = a10 = 0  de manière à faire disparaître I(11)0  et I(111)  . On a alors

pict

Cette égalité permet de donner la formule générale à 3  paramètres

(                  )
 -1     -1     -1     2   -1-     ( 12       )
 16a4 + 72 a7 + 18a8 p  = 211BBP1  2  ,24,P (y)
(160)

pict

Afin de ne pas alourdir l’exposé seules les formules à paramètres qui correspondent au dénominateur en y24 - 212  seront données. Il en existe qui sont associées à d’autres dénominateurs (par exemple y120- 260  ).
Revenons à l’égalité (159), si l’on choisit de poser a  = 0
 7  et a = 16,
 4  cette égalité devient

    (1)     (1)        integral  1 y ln(y)       integral  1(2y- 2)ln(y)    2
-16I1  + 16I4  = - 16   2-y2--2dy+ 16    -y2--2y-+2--dy = p
                     0                0
(161)

On peut traduire cette égalité sous forme de somme de formule BBP.

pict

On peut ramener cette intégrale à un dénominateur de la forme yb - a  à l’aide du tableau de correspondance pour obtenir

    integral      (                               )
32  1 ln(y)-y6--2y5--2-y4--8y3--4-y2--8y+-8-dy = p2
    0                y8 -16
(163)

qui donne l’égalité suivante

32 BBP1 (16,8,y6- 2 y5- 2y4- 8 y3- 4y2- 8y + 8)= p2
(164)

ou

      oo  sum    (                                                      )
p2 =    1-- --16-2-- --16-2-- --8-2-  -16-2-  --4-2- ---4-2 +---2-2
     i=0 24i  (8i+1)   (8i+2)   (8i+3)    (8i+4)    (8i+5)   (8i+6)   (8i+7)
(165)

Cette égalité est déjà mentionnée par Plouffe dans [1].
Le choix de a4 = 0, a7 = 72  donne

pict

ce qui donne la formule suivante due à Plouffe :

pict

Quelques formules simples et nouvelles

Une autre solution consiste à garder les intégrales qui fournissent des dénominateurs de la forme  b
y - a  de degré élévé mais d’ajuster les paramètres de manière à avoir beaucoup de coefficients nuls dans les formules BBP.
De bon choix semblent être les suivants :
[ai] = (a1,...,a11) = (1,1,0,0,0,0,- 1,0,0,0,0)  qui donne la formule à 10  termes

pict

Le polynôme P (y)  n’ayant que des puissances impaires, cette formule peut se simplifier pour donner

pict

[ai] = (2,1,0,1,0,0,- 1,- 1,0,0,0)  qui donne la formule à 11  termes

pict

[a] = (- 2,-1,-1,- 2,0,0,1,0,0,1,0)
  i  qui donne la formule BBP  à 43  termes (remarquer le 260  ) :

pict

Si l’on s’intéresse aux formules ayant le moins de termes, citons que d’autres formules à 50  termes ([ai] = (- 1,- 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0)  ) et à 55  termes ([ai] = (- 2,-1,0,-1,0,0,1,1,0,0,0)  ) existent.
On peut également chercher des séries alternées, par exemple
[ai] = (0,0,0,-2,0,0,0,,0,0,0)  donne

       9      (                                                )
p2 = - --BBP1  - 26,12,y10- 8y8- 12y7- 4y6 + 8y4 + 48y3 + 64y2- 32
       20
(Huvent)

Remarque

Les égalités intégrales permettent aussi d’écrire de différentes façons  2
p  comme somme de formule BBP.
Par exemple, le résultat (Huvent) ([ai] = (-1,- 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0)  ) donne l’égalité intégrale

pict

Ce qui peut s’écrire

pict

Formules pour les constantes G,p ln(2)  et  2
ln (2)  Pour p ln (2)

La même méthode conduit à la formule générale pour pln(2)  (lorsque l’on impose un dénominateur en  24   12
y  - 2  )

pln(2) =-1-BBP   (212,24,P (y)) o`u
        211    1
(Huvent)

pict

En ajustant les coefficients a4  et a8,  on dispose de formules ayant 17  termes qui sont de la forme

pln(2) = BBP1 (212,24,P (y))

Une des plus simples semble être [ai] = (2,- 6,0,4,1,0,6,- 6,-3,0,0)

pict

Une autre formule à 18  termes est obtenue pour [a] = (0,0,0,0,1,0,0,0,-3,0,0)
  i

pict

Pour terminer [ai] = (0,0,0,0,4,1,0,0,0,0,1)  donne

pict

Pour la constante de Catalan G

De même, en imposant un dénominateur en y24- 212,  on obtient

pict

Le cas le plus intéressant est obtenue quand tous les ai  sont nuls excepté a9  que l’on prend égal à 1  . On obtient ainsi

pict

L’intérêt de cette formule réside dans les coefficients de P  qui sont tous des puissances de 2  .
Le choix de [ai] = (1,- 3,0,2,0,0,3,-3,1,0,0)  permet d’écrire
G = BBP1  (212,24,P (y)) P (y)  a 16  coefficients non nuls.
Pour finir [a ] = (0,0,0,0,- 1,1,0,0,-1,0,1)
  i  donne G = BBP   (230,60,P (y))
         1 P  a 28  coefficients non nuls.

Remarque 4 Il semble que j’avais été le premier à avoir découvert expérimentalement une vraie formule BBP  pour  G  (Mai 2000) sans toutefois fournir de preuve. Le problème se discute entre moi et David Broadhurst sans doute, mais ce n’est pas très important...

Pour ln2(2)

On obtient

(9a  + 2a + 8a )ln2(2) = - 1-BBP (212,24,P (y))
   4    7    8           29    1
(173)

pict

Le cas le plus simple est donné par [ai] = (- 4,- 3,0,0,0,0,3,0,0,0,0)  qui conduit à

pict

Le choix de [ai] = (- 42,-21,-20,- 40,0,0,21,0,0,20,0)  conduit à   2          ( 60         )
ln (2) = BBP1 2  ,120,P (y) P  a 52  coefficients non nuls.

6.4.5 Quelques formules composites

Dans la détermination de formules BBP, on a systématiquement annulé les coefficients de    (1)    ( 1)
L2  4 , L2 -4 et  (1)
I6  . Si l’on décide alors de garder ces termes, on obtient parmi les formules possibles, les résultats suivants :
[a] = (1,1,0,0,0,0,2,0,0,0,0)  donne

1      (                      )   p2   3  (1 )
16-BP P1 26,12,3y11 + 29- 165 +32 = 36-+ 4L2  4
(174)

qui se simplifie en

pict

Cette formule est équivalente à la formule (167). Si on applique cette idée pour la constante de Catalan, on obtient avec [a] = (0,0,0,0,0,-1,0,0,1,0,0)  l’égalité

pict

Ce qui sous forme de séries donne les deux égalités suivantes :

pict

La même idée conduit, avec [a] = (0,0,0,0,-4,8,0,0,- 12,0,0)  à

pict

et avec [a] = (4,8,0,0,- 4,4,12,0,0,0,0)  à

pict

Ce genre de formule n’a pas systématiquement été recherché.

6.5 Cas des polylogarithmes d’ordre 3

L’ordre 3 introduit bien entendu des formules donnant p3  et autres ln(2)3  mais surtout la célèbre constante z(3)  démontrée irrationnelle par Apéry en 1978 [14] au moyen d’un développement en fraction continue d’une formule factorielle dont on parle un peu plus loin justement.

Cette constante reste toutefois mystérieuse, et les formules BBP montrent intuitivement que cette constante n’est sans doute pas très différente du point de vue de l’ordonnancement de ses décimales et donc de sa complexité.

L’équation de Kummer pour le trilogarithme s’écrit

pict

et la formule d’inversion

   ( )
L   1  = L  (z) + p2ln(-z) + 1ln3(-z)
 3  z      3     6          6
(181)

Un résultat classique permet d’affirmer que

 (2)   7      p2ln(2)   ln2(2)-
I1 =  8z(3)-    12  +    6
(182)

et par définition

       1   (  1)
I2(2)= - -L3  - -
       2      2
(183)

6.5.1 Calcul de  (2)
I4

L’équation de Landen pour le trilogarithme (cf [4] ) est

pict

Appliquée à    1+i
z = 2 ,  on obtient (avec        --3z(3)+-ip3
L3(i) =     32  )

         (   (1 +i)      (1 -i))     35       5p2ln(2)  ln3(2)
I(42)= -2  L3  ----  + L3  ----    = --- z(3) + --------- ------
                2           2        16          48       12
(185)

résultat implicitement contenu dans [3].
On en déduit par la formule de duplication que

                2         3         (    )
I(32) = 35z(3)- 5p-ln(2)+  ln-(2)-  1L3  -1
      16         48       12     8     4
(186)

6.5.2 Calcul de I(82)

Comme pour le calcul de I8(1),  on utilise l’équation de Kummer avec                V~ 
x = 1+2i, y = 1-i2-3  puis avec                 V~ 
x = 1-2i, y = 1-i2-3.  On additionne alors les deux équations obtenues. On simplifie ces équations à l’aide de la valeur de L3(i)  et de l’égalité   ( 1+ i V~ 3)   z(3)  5ip3
L3  -------  = ----+ ----
       2        3     162  . Ceci permet d’affirmer que

                  2         3
I(28)= - 119z(3)+ 5p--ln-(2) - ln--(2)-
       48          36        6
(187)

6.5.3 Relation entre I(52)  et I(92),  valeur de I(210)

On reprend les deux premières équations du calcul de I(81)  que l’on soustrait cette fois ci. On utilise ensuite la formule d’inversion avec z = 1+ i  et z = 1 - i  de manière à faire apparaître le terme (L2 (1+2i ) - L2(1-2i)) . Enfin une dernière application de la formule d’inversion avec z =  V~ 3-i
     2  et avec z =  V~ 3+i
     2  conduit à

pict

Ce qui prouve que

            3p3  p ln2 (2)
3I9(2)- I(25)=  ---- -------
            32      8
(189)


Si l’on utilise l’équation de Kummer avec x = -1  et y = 1+ i,  puis avec x = - 1  et y = 1 -i,  on obtient deux égalités que l’on soustrait. On simplifie le résultat obtenu avec la formule d’inversion appliquée à - 1- i,- 1+ i,1+ i  et 1- i  pour obtenir

pict

Cette égalité se traduit à l’aide des intégrales par

  1 (2)   (2)    (2)   (2)    (2)  13 3  -7    2
- 2J6  +I6  = 2J4  - I5  - 2J2  + 64p - 16 pln (2)
(191)

et donne la relation

   (2)   (2)    (2)   23p3  p-ln2-(2)
-6I5  + 5I6  + 5I11 =  160 -    8
(192)


Si, au lieu de soustraire les égalités obtenues précédemment, on les additionne, on obtient :

pict

ce qui donne

  1  (2)   (2)   15 2       5  3              (2)   (2)     (2)
- 2J5  - I3 =  32 p ln(2)- 8 ln (2)- 7z(3) -2J3 - I4 - 2J1
(194)

et fournit

                                      (    )
 (2)    959      2p2-ln-(2)   ln3-(2)-  1      1
I10 = - 400z(3)+    15    -   6   - 8L3  - 4
(195)

6.5.4 Calcul de  (2)
I7

Comme pour le calcul de  (1)
I7  ,  l’équation de Kummer pour le polylogarithme d’ordre 3  avec        (1-i V~ 3- 1)
(x,y) =  --2--,2 , puis la formule d’inversion avec         V~ -
z = 1- i 3  conduit immédiatement à

pict

6.5.5 Application à la détermination de formules BBP

Considérons maintenant la forme linéaire L2 (a1,a2,...,a11) = a1I(21)+ ...+ a11I(211)  . Alors les résultats précédents permettent d’affirmer que

pict

Formules pour p3   Si l’on cherche des formules pour p3  on annule les coefficients des constantes
z (3),p2ln(2)  ... pour obtenir

pict

On ne peut pas choisir a  = 0,
  9  ce qui impose d’utiliser un dénominateur en y120- 260  pour les formules BBP donnant     p3  . En toute généralité, on obtient ainsi une formule BPP pour p3  ayant deux paramètres (a
 4  et a
 10  ), formule que le lecteur pourra établir. La formule la plus simple est alors obtenue pour [a ] = (0,0,0,0,5,-5,0,0,3,0,- 5)
  i  et a 90  termes. Afin de l’écrire, on introduit les polynômes TTk  définies par  (0)    integral 1 TTk(y)
Ik  =  0y120-260dy  , par exemple         2y(y120-260)
TT1 (y) = ---y2- 2---  .
On a alors

pict

Cette égalité peut s’écrire autrement.
En effet L2 (a1,a2,...,a11) = L2 (a1,a2,a3 -a10,a4,a5,a6 -a11,a7,a8,a9,0,0)+ L2(0,0,a10,0,0,-a11,0,0,0,a10,a11)
Mais                                                integral 1
L2(a1,a2,a3- a10,a4,a5,a6- a11,a7,a8,a9,0,0) =  0 lny(y2)4-P1(21y2)   et
L2 (0,0,a10,0,0,- a11,0,0,0,a10,a11) =  integral 1ln(y4)0P2(2y0)
                                    0 y - 2   P2  a 8  coefficients non nuls en général, et seulement 6  si a10 = 0  ou a11 = 0  ou a10 + a11 = 0  .
Si l’on applique cette remarque ici, on a
L2 (0,0,0,0,5,- 5,0,0,3,0,-5) = L2(0,0,0,0,0,5,0,0,0,0,-5)+ L2 (0,0,0,0,5,-10,0,0,3,0,0)  ce qui donne

pict

Cette formule peut aussi s’écrire

pict

Formules pour    2
pln (2)  Pour obtenir une formule BBP simple pour    2
pln (2)  , on applique la même idée que pour   3
p  (le problème s’avère être le même, il faut utiliser I11  ce qui donne un dénominateur en  120   60
y   - 2  et donne une expression à deux paramètres)
On obtient ainsi avec [ai] = (0,0,0,0,67,-75,0,0,69,0,- 75)

pict

Cette formule peut aussi s’écrire

pict

Comparer avec celles obtenues pour p3  .

Formules pour z(3)  Pour z(3),  on obtient, si l’on cherche un dénominateur en  24   12
y  -2  ,

pict

Ce qui donne la formule générale

(            )
  91a8   21a4        -1-     ( 12        )
   144  +  32   z(3) = 210BBP2 2  ,24,P (y)
(Huvent)

pict

La formule BPP la plus simple est obtenue pour
[a] = (-3,- 1,0,- 2,0,0,1,2,0,0,0)

pict

On peut aussi utiliser la remarque suivante :
L2 (a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,0,0,0,0,) = L2 (0,a7,0,0,0,0,a7,0,0,0,0,)+ L2(a1,a2- a7,a3,a4,a5,a6,0,0,0,0,0,)
Mais                                 integral 1 ln2(u)          (   )
L2(0,a7,0,0,0,0,a7,0,0,0,0,) = a367 0 u+8-du = - a187L3 - 18 et
L2 (a1 + b1,a2 + b2,a3,a4,a5,a6,0,0,0,0,0,) =  integral 1P2(y)8ln2(4y)dy
                                           0  y -2
Si on impose alors a  = a
 8    10  dans (203), on a L (7a , 9a ,0,a ,0,0,- 9a ,0,0,0,0) = -21a z(3)
 2 2 4 2 4    4      2 4           32  4
= L (7a , 18a ,0,a ,0,0,-9a ,0,0,0,0) + L (0,--9a ,0,0,0,0,-9a  ,0,0,0,0)
    22  4 2 4    4      2 4            2   2  4         2  4  ce qui donne

pict

Enfin la formule la plus simple pour un dénominateur en  120   60
y   - 2  est obtenue avec
[ai] = (8,4,5,9,0,0,- 4,1,0,- 5,0)  et contient 67  termes.

Remarque 5 De même ici, j’avais été je pense le premier à proposer une formule pour z (3)  dont la démonstration, bien moins simple mais sur le même modèle, était tout de même achevée en juin 2000 avec l’aide de Raymond Manzoni [5].

Formules pour p2ln(2)  On obtient la formule générale suivante

(            )
 -3 a4 +-13a8  p2ln(2) =---1-- BP P2(212,24,P (y))
 80     360             5  210
(Huvent)

pict

Avec [ai] = (-8,- 3,0,- 5,0,0,3,5,0,0,0)  , on a la formule à 15  termes

pict

Cette relation est remarquable, en effet l’égalité (204) est obtenue pour [ai] = (- 3,-1,0,-2,0,0,1,2,0,0,0)
Cela conduit à poser

pict
pict
pict

Alors

pict

Enfin la formule la plus simple avec un dénominateur en  120   60
y   - 2  est obtenue avec
[ai] = (42,21,25,46,0,0,- 21,4,0,-25,0)  et comporte 67  termes.

Formules pour ln3 (2)  On a la formule générale

(27a + 26a )ln3(2) =-3BP P  (212,24,P (y))
    4     8         28    2
(Huvent)

pict

et la formule la plus simple est obtenue pour
[ai] = (- 22,-9,0,-12,0,0,9,12,0,0,0)

pict

Et celle ayant un dénominateur en  120   60
y  - 2  est donnée par
[ai] = (- 202,-99,-100,- 200,0,0,99,0,0,100,0)

6.6 Cas des polylogarithmes d’ordre 4

6.6.1 Les relations

Pour les polylogarithmes d’ordre 4  et 5,  on ne dispose plus que d’un seul outil, à savoir l’équation de Kummer. Elle s’écrit, avec e = 1- x,  n = 1 -y,

pict

et la formule d’inversion

           (  )    2            4
L4(z) = - L4 1  - p--ln2(-z)-  7p--- -1 ln4(-z)
             z    12          360   24
(214)


On applique alors la méthode suivante :
- Utilisation de la formule de Kummer en un couple (x,y)  particulier
- Elimination des polylogarithmes d’argument de module supérieur à 1  par la formule d’inversion
- Simplifications éventuelles à l’aide de la formule de duplication ou des valeurs de L4  en 1,-1,i  et -i  .

  • Avec (x,y) = (- 1,1+ i),  on obtient
       (   (    )      (    ))     (   (    )      (    ))
        1--i        1-+i            1---i       1-+-i
22  L4    2   + L4    2     -3  L4    4   + L4    4
                                                    (1 )   81   (  1)   137          115       1697
                                               - 7L4  -  + --L4  - -  + ---ln2(2)p2 - ---ln4(2)- ---- p4 = 0
                                                      2    64      4    384          192       9216
    Ce qui se traduit avec les intégrales  (3)
Ik  et  (3)
Jk  par
    pict
  • Avec (x,y) = (- 1,i),  on obtient
    pict

    On obtient une seconde égalité par conjugaison (ou avec (x,y) = (-1,- i)  ). On additionne, ou soustrait les deux égalités obtenues et en remplaçant L4 (i)  par    4
-7p--+ ib(4)
11520          sum       k
b (4) =    -(-1)-4-
       k>0 (2k + 1)  , cela fournit

    pict

    et

    pict
  • Avec        (1-i V~ 3 1)
(x,y) =  --2--,2 ,  on obtient
               (   (      V~ -)     (      V~ -))
          9  L4  1--i--3  + L4  1+-i-3-
                    4              4
         57(   ( -1 + i V~ 3-)     ( - 1- i V~ 3))
       + --  L4  --------  + L4  --------
    (  ) 4     (  ) 2                2
      1    9    1     1- 2  2    217p4   -5  4
-5L4  2  - 8L4  4  +  12p ln (2)+  1620 - 24 ln (2) = 0
    (221)
    On utilise alors la formule de multiplication
               (   (          )     (          )        )
   (3)           -1 -i V~ 3         -1 + i V~ 3
L4  z  = 27 L4   ---2----z  + L4  ---2----z  + L4(z)
    (222)

    qui avec z = 1  permet d’affirmer que

       (       V~ -)     (       V~ -)        4
L4   -1-+i--3  + L4  -1---i-3  = - 13p-
        2               2          1215
    (223)

    et que

               (  )      (  )    4
12I(3)- 5L4  1  -  9L4  1  - p--- 5-ln4(2)+  1-p2ln2(2) = 0
   7        2     8    4    54   24        12
    (224)

  • Enfin, avec        (    V~     )
(x,y) = 1-i2-3, 1+2i , on obtient
         (  (   )     (   ))      (     )      (     )     (  )
0 = 9 L4  -1  + L4  1-   - 5L4  1+-i  - 2L4  1--i  - L4  1
          s3        s4            2            2         2
             - -349-p4 + -7-p2ln2(2)- -5-ln4(2)
               5(5296     768          384     )
                 9-- 3       1-   3     10
            +i   256 p ln(2)-  64 pln (2)-  3 b(4)
    (225)
    En considérant la partie réelle et la partie imaginaire de cette expression, on a respectivement
    pict

6.6.2 Application à la détermination de formules BBP

On considère maintenant la forme linéaire                      (3)          (3)
L3(a1,a2,...,a11) = a1I1 + ...+ a11I11  . Alors les résultats précédents fournissent

pict
pict

6.6.3 Formules pour p4, p2ln2 (2)  et ln4(2)

Pour p4.  La formule la plus simple (et la seule associée à un dénominateur en y24- 212  ) est obtenue pour [ai] = (37,9,0,26,0,0,-9,- 27,0,0,0)  et donne

pict

Il existe une formule à deux paramètre ayant un dénominateur en  120   60
y  - 2  , la plus simple est donnée par [ai] = (34,18,25,41,0,0,- 18,18,0,-25,0)

Pour  2  2
p ln  (2)  La formule la plus simple est obtenue pour
[ai] = (- 10381,-3303,0,- 6836,0,0,3303,6957,0,0,0)  et donne

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Pour  4
ln (2)  Avec [ai] = (-18932,- 6849,0,- 11176,0,0,6849,11322,0,0,0),  on obtient

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Le cas de         3
b(4),pln (2)  et   3
p  ln (2)  Il n’est pas possible de déterminer des formules BBP  pour ces constantes, on ne trouve que deux relations indépendantes qui sont :

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Cela montre qu’il suffit de trouver une formule BP  P  pour l’une des trois constantes       3
b(4),p ln(2)  et  3
p ln(2)  pour en déduire une pour les deux autres.

6.7 Cas des polylogarithmes d’ordre 5

6.7.1 Les relations

Broadhurst dans [3] exhibe des relations entre les intégrales I
 k  et J
 k  à l’aide de l’équation de Kummer (relations (65)  à (67) . Puis découvre deux égalités de façon numérique (relations (68)  et (69)  ). Il prouve alors la relation (68)  en utilisant les séries hypergéométriques et les sommes d’Euler. Il en déduit alors quatre égalités pour z(5)  (relation (70)  )
On peut établir ces quatre égalités directement à l’aide de la formule de Kummer qui s’écrit avec n = 1- x, e = 1 - y, a = - x, b = - y
                        n       e

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On applique alors la même démarche que pour les polylogarithmes d’ordre 4.

  • Avec        (1 1-i)
(x,y) =  2, 2  ,  on obtient, compte tenu de
                         5
L5(i) = - 15-z(5)+ 5ip-,
         512      1236
    pict

    ce qui donne

    pict

    Ce qui se simplifie en, en utilisant  (4)   (4)    3-  ( 1)
I3 + I4  = - 32L5  -4

    pict
  • Avec (x,y) = (- 1,1+ i)  on obtient
    pict

    qui se traduit par

    pict
  • Avec        (       V~ -)
(x,y) =  1+2i, 1-i2-3 , on obtient
    pict

    On simplifie cette égalité à l’aide de    (    V~ -)
L5  1+i-3 =  25z (5) + 17-ip5
      2      54       5832  et de la formule de multiplication   (  )       (     V~  )       (     V~  )
L5 z3  = 81L5  --1+i2-3z  + 81L5 --1-2i3z  + 81L5(z)  , qui avec z = i  permet d’obtenir    ( V~   )     (   V~   )
L5  -3-2i  + L5 ---32-i = 82654z(5))- 62205208ip5  .
    Ainsi

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  • Avec        (        )
(x,y) =  -1, 1-i V~ 3 ,
             2  on obtient
    pict

    ce qui donne

    pict

Remarque 6 La relation (68)  prouvée par Broadhurst ([3]) correspond au calcul de  (4)
I4 .  Le calcul donné ici semble beaucoup plus simple.

6.7.2 Application à la détermination de formules BBP

On considère maintenant la forme linéaire                      (4)          (4)
L4(a1,a2,...,a11) = a1I1 + ...+ a11I11  . Les résultats précédents donnent

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L3(a1,a2,...,a11) =
                                         (4)     (4)     (4)     (4)
                                    + a5I5  + a6I6 + a9I9  + a11I11 +
                         (  56575     6417    6417     3931389     403   )
                          -  2304 a8 - 256 a4 + 256 a3- 160000 a10- 864 a7 z(5)+
                         ( 2237       1      343      861       343  )
                           -----a8 + ---a7- ----a3 + -----a10 +----a4  p4ln(2)+
                           2(5920     324     3840     10000     3840)
                            - 5-a4 - -1-a7 + -5 a3- -7- a8- -19 a10 p2ln3(2)+
                              96     216     96     144     400
                            (-11                      -87-      -1-   )  5
                             240 a8 + 1/20a4 - 1/20a3 + 2000 a10 + 144 a7 ln (2)
                                 3           (   1)   3             (  1)
                               - - (a2 + a7)L5  - -  - --(a10 + a3)L5 - -
                                 2               2    32(               4                        )   (  )
                                                     +  15 a3- 15 a4- 411 a10- 17 a8- 3 a1- 7 a7  L5  1
                                                         2      2      50       2     2     3         2
(266)

6.7.3 Formules pour z(5),p4 ln(2),p2ln3(2)  et ln5(2)

On en déduit des formules BBP  pour les constantes z(5),p4ln(2),p2ln3(2)  et ln5(2)  . On rappelle que les polynômes   TTk  sont définis par Ik(0)=  integral 1-TT12k0(y)60dy
      0 y  -2
On obtient alors
avec [ai] = (311416,168912,239375,382643,0,0,- 168912,96489,0,-239375,0)

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avec [ai] = (22046536,11642616,15741875,26174255,0,0,-11642616,5323725,

0,-15741875,0)

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avec [ai] = (32556,17892,25625,40413,0,0,-17892,10899,0,-25625,0)

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avec [ai] = (12347068,6435126,8249375,14111819,0,0,- 6435126,2392497,

0,-8249375,0)

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6.7.4 Simplifications de ces formules

Ces formules peuvent se simplifier en faisant apparaître le terme I3(4)+ I(14)0  . Par exemple p4ln (2) = 311416I(14)+ 168912I2(4)+ 2 239375I(34)+ 382643I(44)

        (4)       (4)        ( (4)   (4))
- 168912I7  + 96489I8  - 239375 I3 + I10 ce qui donne

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De même

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