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11 Séries binomiales centrales

Un cas particulier intéressant et pas encore trop dur des séries factorielles concerne l’introduction des coefficients binomiaux centraux dans les séries. Après quelques remarques sur ces séries dans la première section, on attaquera les choses sérieuses avec plusieurs formules et leurs démonstrations !

11.1 Inversion de combinaisons

Une chose amusante est que l’on peut obtenir des séries donnant le même résultat mais dans un cas avec un coefficient binomial central central au numérateur, et dans l’autre cas au dénominateur ! Cela confirme également pourquoi on obtient le même type de résultats avec une série sans combinaison et  une série avec combinaisons :

Prenons l’exemple de la fonction arctan   : dans un premier temps, on a la formule classique

            oo  sum  (-1)kx2k+1   x   (   2  1)
arctan(x) =    --2k+-1---= 2-Y  -x ,1,2
           k=0
(372)

On sait depuis Euler (voir page Euler) que la fonction arctan s’exprime aussi selon

                ( sum  oo      k    (   2  )k)
arctan(t) = --t--     ----4-----  -t---
           1+ t2 k=0 (2k + 1)Ck2k  1+ t2
(373)

Enfin, la relation arcsin(x) = 2 sum o o  -Ck2k--(x)2k+1
             k=0 (2k+1) 2  couplée à                (      )
arctan(x) = arcsin  V~ -x-2
                  1+x fournit

             2x    oo  sum      Ck2k     (  x2  )k
arctan(x) =  V~ 1-+-x2  22k+1(2k-+-1) 1-+-x2
                  k=0
(374)

Une relation entre les différentes séries avec coefficients binomiaux centraux est donc l’arctan :

pict

Etonnant, non ? ! !

En dérivant la série du centre selon x  , on peut par exemple trouver l’expression sous forme de combinaison de 11+x2   .

Et donc à partir de cette série, on peut trouver les expressions des combinaisons des séries de type Machin sous forme de combinaisons de formules binomiales ! Nous verrons dans la section suivante les 11.3factorielles.

On peut toutefois signaler pour la fonction arctan

pict

La preuve est évidente en décomposant la série en pair et impair...

D’autre part, on a aussi, toujours en jouant sur les développements en série entière

(    oo                )2      oo 
  2 sum  --Ck2k-- (x)2k+1   = 1  sum  --1-- (2x)2k
   k=0(2k+ 1)  2          2 k=0k2Ck2k
(378)

Enfin, on a d’après les expressions 13 et 11

( sum  oo    (x)k)2    sum  oo 
    Ck2k  --    =    xk
 k=0     4       k=0
(379)

ce qui est assez amusant aussi !

11.2 Développements utiles

On rappelle les développements en série entières suivants qui vont nous servir au calculs de certaines séries et intégrales. :

   1     + sum  oo  Ck  k
 V~ 1---x-=   -42kkx
         k=0
(380)

ce qui, en composant par -x2  ou x2  et en intégrant, donne respectivement

pict

d’autre part, le développement d’arctan  d’Euler fournit sous sa forme arcsin

pict

que l’on peut donc prouver par la méthode des équations différentielles.

11.3 Premières formules directes

Les quatre derniers développement de la section précédente donnent alors les séries classiques, avec      1   V~ 2  V~ 3
u = 1,2,-2 , 2

pict

En utilisant

     (    )        (    )
        V~ 5            V~ 10    p
arcsin  -5-  + arcsin   10-- =  4-
(389)

on peut obtenir, par exemple

  V~ -     sum  oo     n     (V ~      )
p 10 = 4    -n-C2n-----  2 + 1n
        n=0 20  (2n + 1)       2
(390)

Avec le développement de     2
arcsinu(u)  , on obtient

       oo 
p2 = 2  sum -4n---
     n=1 n2Cn2n
(391)

 2     oo  sum  -2n---
p = 8    n2Cn
     n=1    2n
(392)

     9  oo  sum    3n
p2 = -    -2--n-
     2 n=1n C2n
(393)

         oo 
p2 = 18 sum  --1---
       n=1n2Cn2n
(Euler 1748)


Les valeur sin(p8) , sin(p12),  sin(p5) donnent les formules

           (    V~ -)
  2     sum  oo  2-  2 n
p  = 32    -n2Cn----
       n=1      2n
(394)

        sum  oo  (2-  V~ 3)n
p2 = 72    ---2-n---
       n=1  n C 2n
(Grandall 1994)

         oo  (    V~ -)n
p2 = 25 sum  --5---5---
       n=12n+1n2Cn2n
(395)


On peut également écrire que arcsin2( V~ u)-=  sum o o -222n-n1un
               n=1n C2n  ce qui en dérivant donne

arcsin( V~ u)   oo  sum  22n-1  n- 1
 V~ uV ~ 1---u =   nCn u
            n=1   2n
(396)

et obtenir d’autres séries comme

pict

En dérivant de nouveau u d-arcsin2( V~ u)
 du  , on a

         sum  oo  2n+1
p = -2 +    Cn--
        n=1   2n
(400)

etc...

Sur le même modèle, Gery Huvent a proposé une conjecture qui semble ouverte, n’ayant pas lu de choses traitant du sujet...

Conjecture 16

        sum  oo  nk2n            bk
 A k > 0,    Cn  = akp + bk o`u ak --> p
       n=1  2n
(401)

Example 17

 sum  oo  n42n
    Cn2n  = 113p + 355
n=1
(402)

Conjecture 18

        sum  oo  nk              b       V~ -
 A k > 0,   -n--= akp+ bk o`u -k---> 2p  3
       n=1 C2n              ak
(403)

Example 19

13130  V~ -        sum  oo  n6    196      V~ -
-----p  3+ 196 =    -n--et13130-- 2p  3 = - .000541 81
 729            n=1 C2n    729
(404)

Conjecture 20

                                    V~ -
        sum  oo  3nnk            -vk-   p--3
 A k > 0,   Cn2n = ukp + vk o`uuk -->   2
       n=1
(405)

Example 21

                                      V~ -
32524-  V~            sum  oo  3nn4  29496-  p--3            -7
 3   p 3 + 29496 =     Cn  et 32524 -   2  = -4.87× 10
                  n=1  2n      3
(406)

11.4 Formules d’ordre supérieur

L’étude des séries de type  sum +oo  -xn-
  n=1 njCn2n  ou  sum +o o  Cn2nxn
  n=1  nj  , pour j > 1  se complique un tout petit peu, car ces sommes proviennent d’intégrations succesives des fonctions où j = 1  . En effet, on remarque que

            integral                   integral   integral  u sum +o o  yn-1
+ sum  oo --xn--    x + sum  oo -un--1--      x-0---n=1nj-2Cn2n-dy
   njCn2n = 0     nj-1Cn2ndu =  0         u        du
n=1            n=1
(407)

et ainsi de suite pour remonter par exemple jusqu’à j = 1  .

Mais bien évidemment, ces fonctions ne se laissent pas intégrer aisément ! Et il faut souvent recourir à beaucoup de patience et un peu d’astuce pour arrive à ses fins.

Cependant, les résultats sont là. On connait la formule d’Euler

+ oo         V ~ 
 sum  --1--= p--3
n=1nCn2n     9
(408)

dont je donne une démonstration au paragraphe consacré à l’10.2calculus et à la méthode d’accélération de la convergence par les différences finies, inventée par Euler lui-même !

L’ordre supérieur, c’est une formule comme

+ sum  oo    1     p2
   n2Cn--=  18-
n=1    2n
(409)

mais aussi

 sum  oo  (- 1)n    2
   --3-n-= - -z (3)
n=1n C 2n    5
(410)

et la formule de Comtet datant de 1974 dont la démonstration  fut laborieuse...

+ oo             4
 sum   --1--=  17p-
n=1 n4Cn2n   3240
(411)

Evidemment, cela titillait les mathématiciens de savoir si une formule similaire existait pour l’ordre 5 ! Malheureusement, on sait aujourd’hui que cette série ne donne pas vraiment les résultats escomptés puisque si l’on note       V~ -
r := ( 5 -1)/2  , on a en fait d’après [8]

pict

Mais cela n’empêche pas les ordres supérieurs d’être intéressants.

11.4.1 Une première formule avec démo

J’ai remarqué en aout 2001 que

216 sum  oo     (2i)!         3
-7-   16i(i!)2(2i+-1)3 = p
   i=0
(413)

ce qui se traduit sous forme hypergéométrique par

 3  216  oo  sum  -----(2i)!-----  216    (  12, 12, 12 1)
p =  7     16i(i!)2(2i+ 1)3 = 7  4F3    3, 3 ,4
        i=0                            2 2

C’est sans doute une des plus simples formules factorielles et la présence du 2i+ 1  sonne comme une formule BBP. La preuve est compliquée et liée au calcul de l’intégrale suivante

 integral  12 ln(x)2      integral  p6        2
     V~ ----2dt =    ln (sin(t)) dt
 0   1 - x      0
(414)

car le développement en série entière de  integral  12 l V~ n(x)2
 0  1-x2dt  donne

 sum                        sum                      sum 
 o o i=02.16i((i2i!))2(!2i+1) ln2(2)+ o o i=0 16i(i(!)22i)(2!i+1)2 ln(2)+ o o i=0 16i(i!(2)2i)(!2i+1)3   dont on sait calculer les deux premiers membres.

On pose donc plus généralement les intégrales suivantes :

        integral  x (     ( ))n
Ln(x) =   ln  2sin  t     dt
        0          2
(415)

Notons que l’on peut clairement rapprocher cette intégrale des 9.4.1dans la mesure où             |   (  )|
Cl1(x) = - ln|2sin x2 | et donc

              integral 
 n         n   x       n
L (x) = (- 1) 0 (Cl1(x)) dt

pour x > 0  . Il n’y a pas de hasard !

Le résultat qui nous intéresse est

     108  (p )
p3 = ---L2  --
      7     3

qui est équivalent à la série par un changement de variable immédiat u = t2  dans 414.

Raymon Manzoni, puis Gery Huvent , ont contribué à fournir une preuve de cette formule, c’est ce que je vous présente maintenant, en y incluant une démonstration de la formule de Comtet par Gery Huvent .

Preuve. Considérons, pour p  et q  entiers q > 1,  la fonction

pict

cette fonction est holomorphe sur
Pour p = 0, C\]1,+ oo [
Pour p > 1  C  privé de ]1,+o o [  et de ]-  oo , 0]
Considérons, pour x  (-  [-p,p]  le chemin g(t) = eit, t  (-  [0,x]  et l’intégrale  integral 
 gfp,q (z)dz  (avec x /= ąp  si p /= 0  ).
Puisque   (      )    (     )
ln 1 -eit = ln 2sin t2 - i2 (p - t),  on a

 integral               integral  x (   (     )          )q
   f  (z)dz = ip  tp  ln  2sin t  - i (p - t)  dt
 g  p,q          0            2    2
(417)

Si Fp,q  désigne une primitive de fp,q  sur un domaine contenant le chemein g,  on a

   integral  x (   (     )           )q        (  )
ip    tp  ln  2sin t - -i(p- t)  dt = Fp,q eix -Fp,q(1)
   0            2    2
(418)

Le problème se ramène donc à un calcul de primitive !
La primitive de fp,1  nulle en z = 1  est

                         p
Fp,1(z) = (- 1)p p!z(p+ 2)+  sum  (- 1)k+1--p!---lnp-k(z)Lk+2 (z)
                        k=0        (p- k)!
(419)

Ainsi

 p+1  integral  x p( (     t)   i      )         p            sum p    k+1---p!--    ( ix)   p-k
i    0 t  ln  2sin 2  - 2 (p - t) dt = (-1) p!z(p+ 2)+   (-1)   (p- k)!Lk+2 e   (ix)
                                                    k=0

                                            (                                            )
 integral  x   (     t)     i(pxp+1    xp+2)             p            sum p    k+1 (ix)p-kp!    (   )
   tpln  2 sin2  dt = 2  p-+-1-- p+-2- + i-p-1 (- 1) p!z(p+ 2)+    (- 1)   -(p---k)!-Lk+2 eix
 0                                                           k=0
(420)

On obtient donc une seconde expression de  integral xtpln(sint)dt,
 0  en comparant avec celle déjà obtenu, pour p = 0,1,2...  , on retrouve simplement la valeur de Ln(eih)+  (- 1)nLn (e-ih) . Cela n’a rien de nouveau, car on connait le développement en séries de Fourier du énième polynôme de bernoulli. Ce développement donne l’égalité

                                   (   )
   (ih)      n   ( -ih)    (2ip)n    -h-
Ln e   + (-1) Ln  e    = -  n!  Bn  2p
(421)

La primitive de f0,q  qui est nulle en z = 1  est

 sum p    k+1   p!
   (-1)   (p--k)! lnp- k(1- z)Lk+1(1 -z)
k=0
(422)

ainsi

 integral  x(  (      )          )p        sum p
     ln  2sin t - -i(p- t)  dt = - i  (-1)k+1---p!--lnp-k(1- eix)Lk+1(1- eix)
 0          2    2                k=0       (p- k)!
(423)


En particulier,

pict

On peut retrouver que   (   (ix))  1 2   1     1 2
 R  L2 e    = 4x  - 2px+  6p  et que

 integral  x (     t)        (   (  ))
    ln  2sin -  dt = -  I  L2 eix
 0         2
(425)

Et

   integral  x ( (     t)   i      )       (   )      (  )
-    t ln 2 sin -  - -(p -t)  dt = L3 eix - ixL2 eix  -z (3)
   0           2    2
(426)

d’où

 integral  x  (     t)         (  )      (   )         (1     1    )
   tln  2sin -  dt = -L3 eix + ixL2 eix + z(3)- i  -x3- -px2
 0          2                                    6    4
(427)


Puis on a

 integral  x(  (     )           )                             2
     ln  2sin t + -i(p- t) dt = ln(1- t)lnt+ L2 (1 - t)- p--
 0          2    2                                    6
(428)

qui permet de retrouver la formule d’Euler pour le dilogarithme

pict

soit

pict

Remarque 22 On peut simplifier cette égalité avec les formules de Landen et retrouver le résultat classique

 integral  p  (     t)     p3
    ln2  2sin 2  dt = 12
  0
(431)

résultat que l’on obtient avec le développement en séries de Fourier de   ||    (x)||
ln 2sin 2 et la formule de Parseval.

En particulier

 integral  p3 2(     t)     -7- 3
 0 ln   2sin 2  dt = 108p
(Gourevitch)

car

   ( ip-)   1       5
L3  e3  =  -z(3)+ ---ip3
           3      162
(432)

Cette égalité donne alors avec       (t)
u = sin 2 et un DSE

+ sum  oo       n
   ----C2n---- = -7-p3
n=116n(2n + 1)3   216
(Gourevitch)


On peut également établir que

 integral  p   (    (  ))        (   (     ))
  2 ln2  2sin  t   dt = 2 I  L  1 - i   + -23 p3 + p-ln22-- G ln(2)
 0            2            3  2   2     192       16
(433)


On peut aussi calculer la primitive de ln(z)ln2z(1--z)-= f1,2(z)  , on trouve

pict

Cette égalité admet plusieurs applications :

L’égalité

 integral  12ln(z)ln2(1 - z)   1        p4
   --------------dz =- ln4 2- ---
 0       z           4       360
(435)

Puis avec

 integral  12 2               integral  1 2
   ln-(1--t)ln(t)dt-    ln-(1--t)ln(t)dt = 1 ln4(2)
 0       t           12      t          2
(436)

obtenue par intégration par parties et changement de variables(u = 1 - t),  car  integral 1 2                   integral  1(          )
 12 ln(1-tt)ln(t)= - 12 ln42- 12 - ln(11--tt)ln2t dt  .
On a

 integral  1      2             4
   ln(z)ln--(1---z)dz = - p-
 0       z             180
(437)

qui donne

               4
lim F1,2 (t) = - p-
t-->1           180
(438)


Enfin, en partant de

 integral              integral  x (  (     )          )2
   f1,2(z)dz = i  t  ln  2sin t - i (p- t)  dt
 g             0           2    2
(439)

que l’on développe comme dans l’exemple précédent, on trouve

Avec x = p,
    3  et compte tenu de la valeur de   (    )
L3 e- ip3-

             2   (     V~ -)      (      V~  )
F1,2 (eip3)=  2p-L2  1-+-i-3  - 2L4  1+-i-3-  + -77-p4 + 8ipz(3)
            9        2               2       4860       9
(440)

ce qui donne

                                       (      V~ -)      (      V~  )
  integral  p3 (  (    -t)   i      )2     2p2    1-+i--3         1+-i-3-    p4-  8ipz(3)
i 0  t ln  2 sin2  -  2 (p- t) dt =  9 L2     2     - 2L4     2    -  486 +   9
(441)

En développant le carré sous l’intégrale et en tenant compte des valeurs précédemment calculées de  integral  p3 (     t)
0  tln 2 sin 2 dt,  il s’avère (Oh miracle) que l’on obtient

 integral  p3   (     t)     17p4
   tln2  2sin 2  dt = 6480
 0
(Comtet)


Cette dernière égalité, donne avec       (t)
u = sin 2 et le DSE de arcsin(u)   d-     2
 V~ 1-u2-= du arcsin (u),  l’égalité

+ oo             4
 sum   --1--=  17p-
n=1 n4Cn2n   3240
(442)

Avec x = p2,  le résultat est moins simple, cependant, on a

pict

En combinant avec 433, on a

 integral  p2(    )   (      )                                                   (  )
    p-- t ln2 2sin-t dt = 25-p4 + 5-ln2(2)p2 - 5-ln4(2) - 35 ln(2)z(3)-  5L4  1
 0  2             2       576     96          96        32           4    2
(444)

 _

Le tout est maintenant de se servir de cette approche pour développer une méthodologie particulière et comme souvent il faut passer par des intégrales équivalentes, dont on vient de voir un premier exemple. Le tout sur une idée de Gery Huvent  :

11.4.2 Calcul d’une primitive de       (  )
tpcoth at2

Pour a  (-  C  , on introduit la fonction

               integral  x     (at )
 A p > 1, Fp(x) = tpcoth  --  dt
               0         2
(445)

Proposition 23

               xp+1    2p!  sum p (ax)p-k    (    )   2p!
 A p > 1, Fp(x) = p-+-1- ap+1 (p---k)!Lk+1  e- ax + ap+1z (p + 1)
                          k=0
(446)

L’égalité précédente est valable sur R  si a / (-  iR
Si a = ia  où a  (-  R  l’égalité précédente est valable sur ] p p [
- a,a.

Preuve. On dérive le membre de droite,

pict

Puis en x = 0  le membre de droite est égal à 0  .  _

Application :Intégrales genre Dirichlet Considérons l’égalité (446) avec a = 2i,  on obtient l’expression de l’intégrale  integral xtpcotan(t)dt
 0  à l’aide de polylogarithmes. Une intégration par partie (où l’on intégre la cotangente) donne

pict

On obtient alors les égalités suivantes

pict

Avec a = 2,  on obtient

pict

ce qui donne

pict

Pour le folklore mathématique On montre alors facilement que

 integral  12(  2        )
    42t - 18t+ 1 ln (sinpt) = 0
 0
(459)

Le minimum du trinôme          2
P (t) = 42t - 18t +1  est obtenu en     3-
t = 14  , amusant !

11.4.3 Utilisation de F1

Utilisation de la primitive de tcoth (t)  On a pour p = 1  et a = 2

                integral  x                                            2
 A x > 0, F1 (x) =  tcoth (t)dt = 1x2 + x ln(1 - e- 2x)+ 1L2(e-2x)+  p--
                0             2                   2           12
(460)

Ainsi pour        ( )
x = 12 ln 1u u  (-  ]0,1[,  on obtient

 integral   1
  - 2ln(u)            1  2     1                1       p2-
 0       tcoth (t)dt = 8 ln (u)- 2 ln(u)ln(1- u)- 2L2(u)+ 12
(461)

Partant de

            integral  x            sum  oo     n  n
 A x  (-  [0,1], arcsinhy-dy =  -(--1)-C2n-x2n+1
           0    y        n=022n(2n+ 1)2
(462)

Le changement de variable t = arcsinh(y)  donne alors

pict

Comme application, on obtient pour u = 1-
    f2

pict

Comme autre application, u = 1
    2  donne

pict

Utilisation de la primitive de tcotan (t)  On a pour p = 1  et a = 2i

     ]     [    integral  x              2     (        )      (    )    2
 A x  (-  - p, p ,  tcotan(t)dt = ix-+ x ln 1 - e- 2ix + i L2 e-2ix -  ip--
        2 2    0               2                  2            12
(466)

Partant de

            integral  x            oo  sum       n
 A x  (-  [0,1],  arcsin-ydy =    ---C-2n----x2n+1
            0   y        n=0 22n (2n + 1)2
(467)

le changement de variable t = arcsin (y)  donne

           oo  sum  ---Cn2n---- 2n+1   iarcsin2x-          (    - 2iarcsinx)   i  ( -2iarcsinx)  ip2
 A x  (-  [0,1],  22n (2n + 1)2x    =     2    + arcsinx ln 1 - e         + 2L2 e         -  12
          n=0
(468)

Comme application, on a avec x = 1

pict

Avec      V~ 
x = 22-

pict

11.4.4 Utilisation de F2

Utilisation de la primitive de t2 coth (t)  On a pour p = 1  et a = 2

                integral  x 2          x3   2  (    -2x)      ( -2x)  1   (- 2x)   z(3)
 A x > 0, F1 (x) = 0 t coth (t)dt = 3 + x ln 1 -e    -xL2  e    - 2L3  e    +  2
(471)

Partant de

 integral  x     2        sum  oo     n+1 2n
   arcsinh-(y)=  1    (--1)---2--x2n
 0     y        4n=1   n3Cn2n
(472)

par changement de variable, on obtient  A x  (-  [0,1],

   oo 
1 sum   (--1)n+122n-2n   arcsinhx3-   2  (    -2arcsinhx)      ( -2arcsinhx)  1   ( -2arcsinhx)  z-(3)
4      n3Cn2n   x   =     3    + x ln 1- e          -xL2  e         - 2 L3 e         +   2
 n=1
(473)

Avec x = 1
    2  , on obtient

pict

C’est la derniere égalité qu’Apery a utilisé pour prouver l’irrationnalité de z(3)  .
Avec x = -1 V~ -
    2 2  on a

pict

Utilisation de la primitive de t2 cotan (t)  Par le même genre de méthode on obtient

pict

ce qui avec x = 1  donne

pict

puis avec      1
x =  V~ 2

pict

En combinant ces deux dernières égalités avec celle trouvée par Apéry (474), on obtient

pict

11.4.5 D’autres formules

A partir du résultat  integral                 V~ -  ( )
 01 V~ -ln(x)2-dx = --28pG 14 2
     x(1-x )  citée dans le Gradshteyn [9] (4.241), on tire la formule

 oo  sum        n         V~ -- (  )2
   ----C-2n---- = -2p-G  1   =  V~ 1-pK(k1)
n=04n-1(2n+ 1)2    8     4       2
(484)

Jolie formule, mettant en évidence l’arrivée d’une constante liée à l’intégrale elliptique de première espèce, pas mal...


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