11 Séries binomiales centrales

Un cas particulier intéressant et pas encore trop dur des séries factorielles concerne l’introduction des coefficients binomiaux centraux dans les séries. Après quelques remarques sur ces séries dans la première section, on attaquera les choses sérieuses avec plusieurs formules et leurs démonstrations !

11.1 Inversion de combinaisons

Une chose amusante est que l’on peut obtenir des séries donnant le même résultat mais dans un cas avec un coefficient binomial central central au numérateur, et dans l’autre cas au dénominateur ! Cela confirme également pourquoi on obtient le même type de résultats avec une série sans combinaison et  une série avec combinaisons :

Prenons l’exemple de la fonction  : dans un premier temps, on a la formule classique

(372)

On sait depuis Euler (voir page Euler) que la fonction arctan s’exprime aussi selon

(373)

Enfin, la relation couplée à fournit

(374)

Une relation entre les différentes séries avec coefficients binomiaux centraux est donc l’arctan :

Etonnant, non ? ! !

En dérivant la série du centre selon , on peut par exemple trouver l’expression sous forme de combinaison de .

Et donc à partir de cette série, on peut trouver les expressions des combinaisons des séries de type Machin sous forme de combinaisons de formules binomiales ! Nous verrons dans la section suivante les 11.3factorielles.

On peut toutefois signaler pour la fonction arctan

La preuve est évidente en décomposant la série en pair et impair...

D’autre part, on a aussi, toujours en jouant sur les développements en série entière

(378)

Enfin, on a d’après les expressions 13 et 11

(379)

ce qui est assez amusant aussi !

11.2 Développements utiles

On rappelle les développements en série entières suivants qui vont nous servir au calculs de certaines séries et intégrales. :

(380)

ce qui, en composant par ou et en intégrant, donne respectivement

d’autre part, le développement d’ d’Euler fournit sous sa forme

que l’on peut donc prouver par la méthode des équations différentielles.

11.3 Premières formules directes

Les quatre derniers développement de la section précédente donnent alors les séries classiques, avec

En utilisant

(389)

on peut obtenir, par exemple

(390)

Avec le développement de , on obtient

(391)

(392)

(393)

(Euler 1748)

Les valeur , donnent les formules

(394)

(Grandall 1994)

(395)

On peut également écrire que ce qui en dérivant donne

(396)

et obtenir d’autres séries comme

En dérivant de nouveau , on a

(400)

etc...

Sur le même modèle, Gery Huvent a proposé une conjecture qui semble ouverte, n’ayant pas lu de choses traitant du sujet...

Conjecture 16

(401)

Example 17

(402)

Conjecture 18

(403)

Example 19

(404)

Conjecture 20

(405)

Example 21

(406)

11.4 Formules d’ordre supérieur

L’étude des séries de type ou , pour se complique un tout petit peu, car ces sommes proviennent d’intégrations succesives des fonctions où . En effet, on remarque que

(407)

et ainsi de suite pour remonter par exemple jusqu’à .

Mais bien évidemment, ces fonctions ne se laissent pas intégrer aisément ! Et il faut souvent recourir à beaucoup de patience et un peu d’astuce pour arrive à ses fins.

Cependant, les résultats sont là. On connait la formule d’Euler

(408)

dont je donne une démonstration au paragraphe consacré à l’10.2calculus et à la méthode d’accélération de la convergence par les différences finies, inventée par Euler lui-même !

L’ordre supérieur, c’est une formule comme

(409)

mais aussi

(410)

et la formule de Comtet datant de 1974 dont la démonstration  fut laborieuse...

(411)

Evidemment, cela titillait les mathématiciens de savoir si une formule similaire existait pour l’ordre 5 ! Malheureusement, on sait aujourd’hui que cette série ne donne pas vraiment les résultats escomptés puisque si l’on note , on a en fait d’après [8]

Mais cela n’empêche pas les ordres supérieurs d’être intéressants.

11.4.1 Une première formule avec démo

J’ai remarqué en aout 2001 que

(413)

ce qui se traduit sous forme hypergéométrique par

C’est sans doute une des plus simples formules factorielles et la présence du sonne comme une formule BBP. La preuve est compliquée et liée au calcul de l’intégrale suivante

(414)

car le développement en série entière de donne

dont on sait calculer les deux premiers membres.

On pose donc plus généralement les intégrales suivantes :

(415)

Notons que l’on peut clairement rapprocher cette intégrale des 9.4.1dans la mesure où et donc

pour . Il n’y a pas de hasard !

Le résultat qui nous intéresse est

qui est équivalent à la série par un changement de variable immédiat dans 414.

Raymon Manzoni, puis Gery Huvent , ont contribué à fournir une preuve de cette formule, c’est ce que je vous présente maintenant, en y incluant une démonstration de la formule de Comtet par Gery Huvent .

Preuve. Considérons, pour et entiers la fonction

cette fonction est holomorphe sur
Pour
Pour privé de et de
Considérons, pour le chemin et l’intégrale (avec si ).
Puisque on a

(417)

Si désigne une primitive de sur un domaine contenant le chemein on a

(418)

Le problème se ramène donc à un calcul de primitive !
La primitive de nulle en est

(419)

Ainsi

(420)

On obtient donc une seconde expression de en comparant avec celle déjà obtenu, pour , on retrouve simplement la valeur de . Cela n’a rien de nouveau, car on connait le développement en séries de Fourier du énième polynôme de bernoulli. Ce développement donne l’égalité

(421)

La primitive de qui est nulle en est

(422)

ainsi

(423)

En particulier,

On peut retrouver que et que

(425)

Et

(426)

d’où

(427)

Puis on a

(428)

qui permet de retrouver la formule d’Euler pour le dilogarithme

soit

Remarque 22 On peut simplifier cette égalité avec les formules de Landen et retrouver le résultat classique

(431)

résultat que l’on obtient avec le développement en séries de Fourier de et la formule de Parseval.

En particulier

(Gourevitch)

car

(432)

Cette égalité donne alors avec et un DSE

(Gourevitch)

On peut également établir que

(433)

On peut aussi calculer la primitive de , on trouve

Cette égalité admet plusieurs applications :

L’égalité

(435)

Puis avec

(436)

obtenue par intégration par parties et changement de variables car .
On a

(437)

qui donne

(438)

Enfin, en partant de

(439)

que l’on développe comme dans l’exemple précédent, on trouve

Avec et compte tenu de la valeur de

(440)

ce qui donne

(441)

En développant le carré sous l’intégrale et en tenant compte des valeurs précédemment calculées de il s’avère (Oh miracle) que l’on obtient

(Comtet)

Cette dernière égalité, donne avec et le DSE de l’égalité

(442)

Avec le résultat est moins simple, cependant, on a

En combinant avec 433, on a

(444)

 _

Le tout est maintenant de se servir de cette approche pour développer une méthodologie particulière et comme souvent il faut passer par des intégrales équivalentes, dont on vient de voir un premier exemple. Le tout sur une idée de Gery Huvent  :

11.4.2 Calcul d’une primitive de

Pour , on introduit la fonction

(445)

Proposition 23

(446)

L’égalité précédente est valable sur si
Si où l’égalité précédente est valable sur

Preuve. On dérive le membre de droite,

Puis en le membre de droite est égal à .  _

Application :Intégrales genre Dirichlet Considérons l’égalité (446) avec on obtient l’expression de l’intégrale à l’aide de polylogarithmes. Une intégration par partie (où l’on intégre la cotangente) donne

On obtient alors les égalités suivantes

Avec on obtient

ce qui donne

Pour le folklore mathématique On montre alors facilement que

(459)

Le minimum du trinôme est obtenu en , amusant !

11.4.3 Utilisation de

Utilisation de la primitive de On a pour et

(460)

Ainsi pour où on obtient

(461)

Partant de

(462)

Le changement de variable donne alors

Comme application, on obtient pour

Comme autre application, donne

Utilisation de la primitive de On a pour et

(466)

Partant de

(467)

le changement de variable donne

(468)

Comme application, on a avec

Avec

11.4.4 Utilisation de

Utilisation de la primitive de On a pour et

(471)

Partant de

(472)

par changement de variable, on obtient

(473)

Avec , on obtient

C’est la derniere égalité qu’Apery a utilisé pour prouver l’irrationnalité de .
Avec on a

Utilisation de la primitive de Par le même genre de méthode on obtient

ce qui avec donne

puis avec

En combinant ces deux dernières égalités avec celle trouvée par Apéry (474), on obtient

11.4.5 D’autres formules

A partir du résultat citée dans le Gradshteyn [9] (4.241), on tire la formule

(484)

Jolie formule, mettant en évidence l’arrivée d’une constante liée à l’intégrale elliptique de première espèce, pas mal...