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2 Introduction aux séries hypergéométriques

2.1 Définition

Une fonction hypergéométrique généralisée est définie par la série

   (  a1,a2,...,ap   )    sum  oo  (a1)k(a2)k...(ap)k   k
pFq   b1,b2,...,bq ,x  =     (b-)-(b)-...(b-)-(k!)x
                      k=0  1 k 2 k    qk
(1)

(a)k  est le symbole de Pochhammer et vaut (a)k = (a)*(a+ 1)* ...*(a+ k - 1)

C’est une généralisation de la factorielle. En effet, un exemple simple de valeur du symbole de Pochhammer est (1)k = 1* 2* ..*k = k!

Un exemple très important de valeur du symbole de Pocchammer concerne     1
a = 2   :

(1 )     (2k)!
  -   = -2k---
  2 k   2  (k!)
(2)

En effet,

pict

qui est équivalent à -k!-
 V~ pk  lorsque k-- >   oo  grâce à l’équivalence de Stirling, pour fixer les idées.

En effet, on a               2k- 2k V~ -            V~ 
2(22kk)(k!!)   ~  (22kK)ke-k V~ 4pk ~   kke-k 2  ~   V~ k!
      n-->o o  2 k e   2pk  n--> oo         n-->o o   pk  .

D’ailleurs, il existe un moyen simple pour vérifier si une série  sum o o  a
  k=0  k  peut se mettre sous la forme d’une série hypergéométrique. On calcule pour cela le ratio ak+1-
ak  et on tente de le mettre sous la forme

ak+1     (k + a1) (k + a2)...(k + ap)
-ak-=  (k-+-b1)(k-+-b2)...(k-+bp)(k+-1)x
(4)

c’est-à-dire un ratio de polynômes en k  . Sous cette forme, on peut alors préciser que

 sum  oo        ( a ,a ,...,a    )    sum  oo  (a1) (a2) ...(ap)
   ak =p Fq   1b,b2,...,bp ,x  =    -----k----k-----k--xk
k=0            1 2    q       k=0(b1)k (b2)k...(bq)k(k!)
(5)

De manière générale, pour les séries n’admettant pas de résultats simples, on pourra souvent se ramener à l’étude d’une intégrale comprenant du logarithme au numérateur (éventuellement à une certaine puissance) et des polynômes (éventuellement à une certaine puissance non entière) soit

 integral  u    k    a
   ln(x)-P(bx)-dx
 0    Q(x)
(6)

2.2 Quelques propriétés et exemples simples

Le rapport de forces entre p  est q  est primordial pour savoir vers quel type de résultat on s’oriente. Car les résultats d’une série Hypergéométrique pour une différence p- q  fixée sont ”homogènes”, c’est-à-dire que les fonctions résultant de la série (closed form en anglais) sont toujours combinaisons d’un même type de fonctions de base. (Bien sûr, les combinaisons peuvent être très compliquées, mais l’important est que l’on voit toujours apparaitre la même fonction de base)

Par exemple, l’exemple simple

   (     )
     .        oo  sum  --1-
0F1   1 ,1  =    (k!)2
             k=0
(7)

oriente les résultats des séries    F
p-1 p   vers les fonctions de Bessel :

         oo  sum  -----(--1)l-----2l+m
Jm(x) =    22l+m(l!)(m + l)!x
        l=0
(8)

pour la fonction de Bessel de première espèce par exemple (    1
m /= 2  ), tandis que l’autre série

   (     )    sum  oo  xk
1F1   1,x  =     ---=  exp(x)
      1      k=0 (k!)
(9)

indique que les variations de coefficients pour 1F1  (et plus généralement pFp  ) fourniront des fonctions basées sur la fonction exponentielle. Celle-ci, comme on l’a souvent vu, ne se marie pas linéairement avec p  dans le sens où l’on ne trouve guère dans la nature de série naturelle qui donne par exemple comme résultat p + e  à moins d’ajouter deux séries qui n’ont pas la même forme et qui chacune converge vers l’une des deux constantes !

Je ne connais pas les résultats pour les séries p-2Fp,p-3Fp  ... mais on voit bien que l’on rajoute alors des factorielles au dénominateur et l’on a peu de chances de trouver autre chose que des fonctions exotiques impossibles à écrire sous forme de fonctions simples ! Déjà que la fonction de Bessel... De plus, elles seront plus proches de fonctions vérifiant des propriétés similaires à la fonction exponentielle.

Remarquons en tous les cas qu’avec les factorielles au dénominateur pour les séries de type p-qFp  avec q > 0  , on a droit majestueusement à un rayon de convergence infini, c’est sympa.... on le savait déjà pour la fonction exponentielle.

D’autre part, si on prend un coefficient p  trop grand par rapport à q  , les séries ont moins d’intérêt calculatoire car ne convergent pas. Par exemple, la série

   (         )    oo 
F    1,1,1 ,x  =  sum  (k!)xk
3 1    1         k=0
(10)

possède un rayon de convergence nul, c’est-à-dire que pour aucun x  fixe si petit soit-il on n’arrive à faire converger la série. La factorielle est trop forte ! Elle croit trop vite par rapport à xk  ... C’est donc le cas aussi plus généralement pour les séries p+2Fp.

Reste donc un cas intermédiaire représenté par les fonctions p+1Fp  qui ont fourni de nombreux résultats depuis près de deux siècles. Ceci est dû principalement au fait que ces séries sont homogènes le plus souvent à des combinaisons de radicaux de polynômes genre 1-x V~ 3+x1/3
   1+2x  ou des intégrales de ce type de trucs (et en particulier toute la classe des intégrales elliptiques). Et cela c’est bon pour nous, car on sait qu’avec les intégrales de ce type, l’on rentre de plein pied dans la classe des intégrales qui fournissent des arctan  et     ln  , et donc du p   ! !

L’exemple le plus simple est sans doute

   (  1  )    sum  oo       1
1F0   . ,x  =     xk =-----
             k=0     1 - x
(11)

mais on peut aussi s’intéresser à la généralisation du binôme de Newton aux puissances rationnelles et remarquer que

   (     )     oo 
1F0   a ,x  =  sum  (a)kxk = (1 - x)- a
     .       k=0(k!)
(12)

ce qui donne par exemple

   (  1  )    sum  oo             sum  oo  k      sum  oo    ( )k
1F0   2 ,x  =     -(2k)!--xk =   C-2kxk =   Ck2k  x-  = (1- x)-12 =  V~ -1---
      .      k=0 22k(k!)2     k=0 22k     k=0     4                  1- x
(13)

On voit là apparaitre des combinaisons Cn2n =  ((2kk!))!2   dont les factorielles se prêtent bien à la mise en forme en série hypergéométrique. Les séries de type p+1Fp  ont un rayon de convergence compris entre l’infini des séries pFp  et le zéro des séries p+2Fp  soit tout naturellement 1 ! On peut s’en convaincre en reprenant le ratio des termes de la série

ak+1=  ---(k-+-a1)(k-+-a2)...(k-+-ap)----x  k-- >   oo  x
 ak    (k + b1) (k + b2)...(k+ bp-1)(k+ 1)   ------>
(14)

D’après la règle de d’Alembert, la limite de ce ratio est l’inverse du rayon de convergence multiplié par x  , donc ici ce rayon vaut 1.

La dérivée (et donc la primitive) d’une série hypergéométrique donne encore une série hypergéométrique comme l’illustre par exemple la formule

    (         )
d F    a1,a2 ,x          (                )
-2-1----.b1------   ab      a1 + 1,a2 + 1
       dx       =  c 2F1      .b1 + 1   ,x
(15)

D’ailleurs, les séries hypergéométriques p+1Fp  sont solutions d’équations différentielles d’ordre p  (utilisant la dérivée d’ordre          p  ), l’exemple ci-dessus en étant une première illustration. Cette propriété rend parfois difficile le calcul de certaines fonctions hypergéométriques, qui sont équivalentes à des intégrales très pénibles, ou même dont on ne sait pas trop quelle intégrale la représente ! Ces fonctions un peu trop vastes ont donc rapidement intéressé les mathématiciens qui ont fait preuve d’une grande ingéniosité pour présenter des algorithmes permettant de calculer indirectement certaines séries hypergéométriques. Une des premières méthodes fut celle de Soeur Céline , puis celui de Gosper (eh oui, encore lui ! !) et enfin l’aboutissement fut l’algorithme de Wilf-Zeilberger dont la méthodologie, sans être compliquée, est un peu lourde à expliquer ici...

Vastes les fonctions hypergéométriques, sûrement ! Imaginez-vous que certaines séries bien connues et très simples en sont des cas particuliers. Par exemple, nous avons vu apparaitre dans les formules 12 et 11 des puissances et des combinaisons. Nous pouvons remarquer également qu’une série comme celle de Leibniz-Gregory s’écrit sous la forme d’une série hypergéométrique :

      oo  sum  (-1)k      (  1, 1   )
p = 4   2k+-1-=2 F1   .32 ,- 1
     k=0                2
(Leibniz-Gregory)

ce qui laisse présager que toutes les séries comprenant exclusivement des termes (an+ b)  peuvent également s’écrire sous la forme de séries hypergéométriques avec des paramètres correspondants bi = ai + 1  (dans l’exemple ci-dessus, 3   1
2 = 2 + 1  .)


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