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modif. 13/04/2013



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Les séries hypergéométriques, harmoniques et Pi

Boris Gourevitch
Boris Gourévitch

2 février 2006
Table des matières
1 Petit rappel historique rapide
2 Introduction aux séries hypergéométriques
 2.1 Définition
 2.2 Quelques propriétés et exemples simples
3 La fonction Psi : Base des formules type Machin ou BBP
 3.1 Définition
 3.2 Equations différentielles
4 Formule de type Machin
5 Formules BBP : La technique
 5.1 s = 1,  v = 0  : Les polylogarithmes
 5.2 Liens entre intégrales, formules BBP et polylogarithmes
 5.3 Intégrales et formules BBP
 5.4 Fonction Y  et polylogarithmes
 5.5 Intérêt des formules BBP
6 Formules BBP en base 2 : s  (-  N  ,    p
v = q  , x = 21n  dans Y
 6.1 Les intégrales considérées
 6.2 La méthode
 6.3 Formules pour p  , ln(2)  , ln(3)  et ln(5)
 6.4 Cas des polylogarithmes d’ordre 2  : Formules d’ordre 2
 6.5 Cas des polylogarithmes d’ordre 3
 6.6 Cas des polylogarithmes d’ordre 4
 6.7 Cas des polylogarithmes d’ordre 5
7 s  entier fixé,    p
v = q  , x = 31n  : BBP en base 3
 7.1 Formules pour   V~ -
p  3
 7.2 Formules d’ordre 2 : intégrales avec ln(y)
 7.3 Formules d’ordre 3 : Intégrales avec ln2(y)
8 Et les autres bases alors ? ?
9 Polygamma et Clausen
 9.1 Fonctions polygamma
 9.2 La fonction digamma
 9.3 Polygamma d’ordre m > 1
 9.4 Combinaisons de Kölbig
10 Introduction de factorielles et combinaisons
 10.1 Un premier exemple
 10.2 Umbral calculus
11 Séries binomiales centrales
 11.1 Inversion de combinaisons
 11.2 Développements utiles
 11.3 Premières formules directes
 11.4 Formules d’ordre supérieur
12 Autres coefficients binomiaux
 12.1 Formules primitives
 12.2 Formules factorielles polynômiales
 12.3 Alors, que dire de tout cela ?
 12.4 Démonstrations
 12.5 Combinaisons rapides : Formules factorielles BBP
 12.6 Alors, que dire de tout cela ?
 12.7 Démonstration typique
 12.8 Produit de combinaisons
13 Séries harmoniques
 13.1 Proximité des séries harmoniques et des polylogarithmes
 13.2 Etude de  k      + sum  oo  Hkn n
fp(x) = n=1 np x  et de  k     + oo  sum   Hkn   n+1
gp(x) = n=1 (n+1)px
 13.3 Application au calcul de certaines séries
 13.4 Généralisations
14 Séries de factorielles supérieures : Ramanujan, Borwein, Chudnovsky....
 14.1 Coefficients binomiaux centraux au carré : Formules elliptiques
 14.2 Coefficients binomiaux centraux au cube : Identité de Ramanujan
15 Autres formules hypergéométriques concernant p
Références

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