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L'univers de Pi - V2.57
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7 s  entier fixé,v = pq  , x = 31n   : BBP en base 3

Tant de résultats déjà ! Mais ce n’est pas fini... en effet, même si l’on ne peut pas trouver des formules BBP pour toute base, une autre classe importante de formules BBP a été obtenue pour la base 3, ce qui correspond en fait à prendre x = 13n  . Là encore, Gery Huvent a le mieux expliqué toutes ces relations dans [12].

7.1 Formules pour p V~ 3

On reprend le même type d’intégrales que pour la base 2, mais c’est cette fois-ci le 3 qui est omniprésent dans les polynômes.

Un calcul élémentaire montre que

pict

En annulant les coefficients de ln(2)  et ln(3),  on obtient la formule BBP  pour   V~ 
p 3   :

pict

Le cas particulier suivant est le plus élégant (               )
 b = 0,d = -e = 13  :

  V~ -    2-  oo  sum  -1-(--34--   --34--   --33--  ---3--   --3---   ---1---)
p  3 = - 33   36i 12i+ 2 + 12i+ 3 + 12i+ 4- 12i+ 8 - 12i+ 9-  12i+ 10
           i=0
(Huvent)

7.2 Formules d’ordre 2 : intégrales avec ln(y)

Il existe (p,q,r)  réels tels que

pict

( les deux membres sont des formes linéaires en (a,b,c)  décomposées sur deux base différentes du dual de R3  )
Plouffe a montré que

pict

ce qui traduit sous forme intégrale, donne

    integral              integral              integral 
     1 ln(y)y-      1 ln(y)y-      1ln(y)(2y--3)-    p2-
-2  0 2y2- 3dy +  0 2 y2 + 3dy + 0 y2 - 3y+ 3 dy = 18
(271)

et correspond à l’égalité                 p2-
I1(-2,1,1) = r = 18  . On en déduit la valeur de r  .

Or on a

pict

        sum  oo  k
L2(z) =   z2
       k=1k
On en déduit

            (  )
3p- 2q = 1 L2 1
        4     9
(273)


Mais Ramanujan a prouvé que

  (  )       (  )    2    2
L2  1  - 1L2  1   = p--  ln-(3)-
    3    6    9     18     6
(274)

En utilisant

pict

On en déduit

  (8    4  )     (1 )   1  (1 )
I1  -,- -,0  = L2  -  - -L2  -
    6   6          3    6    9
(276)

et

       2     2
-2q = p--- ln--(3)-
 3    18     6
(277)

De (273) et (277) on tire les valeurs de p  et q  et l’égalité

                                                     ( )
                    p2-             ln2(3)-         L2-19--
I1(a,b,c) = (a- b+ 5c)36 + (- a+ b- 3c) 12  + (a+ 2b) 12
(278)

Remarque 7   (  4 2  )       1   1  (1 )    1     1  2
I1 - 3,3,0 = L2(- 3)- 3L2  9 = - 18p2 + 6 ln 3  est une autre relation prouvée par Ramanujan .

Remarque 8

pict
o`u P (y) = 4y11 - 9y10 + 81y9 + 117y7 + 81y6 + 972y5 + 243y4 + 1053y3 + 6561y- 2187

On en déduit

pict

Remarque 9                  (         )
I (a,b,0) = (a- b) p2-  ln2(3) + (a+ 2b)L2(19)= a integral  12 ln(y)ydy + b integral 12 ln(y)ydy
 1                36    12            12      0  y2-3       0  y2+3  , avec a = -2  et b = 1  et le changement de variable      2
u = y   , on obtient

 integral  1 ln-(u)(u-+-9)   1  2  1  2
 0    u2 - 9  du = 6 p - 2 ln (3)
(281)

et l’égalité

 sum  oo  1    oo  sum      1       2 2     2
    9ii2+    -i(---1)2 = 3p - 2 ln (3)
i=1      i=0 9  i+ 2
(282)

Remarque 10

  oo        oo 
 sum   1-+  sum  --(-1--)=2  ln 3
 i=1 9ii  i=09i i+ 12
(Huvent)

7.3 Formules d’ordre 3 : Intégrales avec ln2
 (y)

Ici encore, l’ordre 3 introduit des formules donnant   3
p  et autres     3
ln(2)  mais aussi z(3)  .

Il existe ainsi (p2,q2,r2)  réels tels que

pict

Le calcul de r2  est élémentaire car

pict

Proposition 11 On a

13          (1 )   p2ln(3)     (  1 )  ln3(3)
-- z(3)- 6L3  -  -  -------+ 3L3  --  + ----- = 0
 2           3       2            3      2
(285)


Cette relation est équivalente à

pict

Preuve. L’équation de Kummer pour les polylogarithmes d’ordre 3  s’écrit

pict

Avec x = 2
    3   et y = 1,
    3  on obtient

pict

L’équation de Landen est

                    (     )
                      -z---         p2-          1       2        1  3
L3(z)+ L3(1 - z) + L3  z- 1  = z(3)+  6 ln (1- z)- 2 ln(z)ln (1- z)+ 6 ln  (1 - z)
(290)

Appliquée à z = 3
   4   et à z = 2
    3   , elle permet d’exprimer L3(3)
   4 et L3 (2)
    3 en fonction de L3 (1), L3(-2), L3(- 1)
    3                3 et     L3(1)
       4 . La relation

  (1-)                 p2- ln3(-z)
L3  z  = L3(z)+ ln(-z) 6 +    6
(291)

appliquée à 3, 2,- 2
4  3  et - 3  permet de simplifier le membre de gauche de (289).
Il reste ensuite à utiliser les deux égalités suivantes

pict

pour conclure.  _

Avec  integral 1 ln2(y)y      1  (1)
 02 y2-3 dy = - 2L3 3 et  integral  1 ln2(y)y     1   ( 1)
 02  y2+3 dy = -2L3  -3 ,  (285) peut s’écrire

pict

Si on remplace p2  par sa valeur en fonction de q2,  le membre de droite de I2(a,b,c)  devient un polynôme de degré   1  en         q2  dont le coefficient de q2  est égal à  3
ln-(63)c  . Ainsi I2(a,b,0)  ne dépend pas de q2  . Après calculs, on obtient

   integral  1 2           integral  1  2                   (  )           (                 2    )
a    2ln2(y)ydy+ b    2ln2-(y)ydy = - (a+-2b)L3  1  + (--a+-b)  13z(3)+ ln3(3) - p-ln(3)-
   0  y - 3        0  y + 3          12       9       36                      36
(294)

En particulier, on obtient avec a = 1,b = - 1

    integral  1      2              3                (1)    2
12    ----yln-(y)----dy = - ln-(3) - 13z(3)+ L3-9-+  p-ln(3)
    0 (y2- 3)(y2 + 3)       18    18        24       18
(295)

ce qui donne l’égalité

 oo         oo              (  2       )
 sum  -1-+  sum  ----1---- = 4-ln-(3)--p2-ln(3)+  52z(3)
i=1 9ii3  i=09i(i+ 1)3           3           3
                 2
(Huvent)

Remarque 12 On peut aussi prendre a = -2,  b = 1  et faire le changement de variables u = y2   qui conduit à

 integral  1 2
   ln-(u)2(u+-9)du = -1 ln3 3+ 1p2 ln 3- 13z (3)
 0     u - 9         3       3         3
(296)

et à la même égalité pour les séries.

Il reste à calculer les valeurs exactes de p2  et q2  .

Proposition 13 On a l’égalité

 integral 
  1ln2(y)(2y--3)-      26      5p2-ln-(3)   ln3-(3)-
 0  y2- 3 y+ 3 dy = - 9 z(3)+    36    -  12
(297)

Preuve. L’équation de Landen appliquée à z =-1
   z1   où          V~ -
z1 = 3 + i-3
    2    2   est une racine de y2 - 3y+ 3  (l’autre racine est     z2   telle que -1 = 1- -1
z2      z1   ) donne

  ( 1 )     (     1)     (  2p)         5p2ln(3)  ln3(3)  2ip3
L3  z-  + L3  1- z-  + L3 ei 3  = z(3)- ---72---+ --24--+ -81-
     1            1
(298)


Or    (   )
L3  ei2p3  = - 4z(3)+ 2ip3
             9       81   et                    (   (  )     (  ))
 integral  1ln2(y2)(2y-3)dy = - 2 L3-1 + L3  -1
 0  y -3y+3             z1       z2 . On en déduit que

pict
 _

En utilisant les équations (293) et (299), on en déduit que

pict

Et ainsi

                                                         (  )
I (a,b,c) = --a+-b--3-cln3(3)+ a---b+-5cp2ln(3) + --a--2bL   1  + 13-(--a-+-b--8c)z(3)
 2             36                36              24     3 9           36
(302)

Remarque 14 Avec a = - 2,b = c = 1  on obtient

          (                      )
   integral  1 ln2(y)-y4--8y3 +-18-y2--24y+-9   p2ln(3)  65
3  0   (y2- 3)(y2 + 3)(y2 - 3y+ 3)  dy =   18   - 36 z(3)
(303)

et la formule BBP suivante

pict


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