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Boris Gourévitch
L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013



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4 Formule de type Machin

Par rapport à la fonction Y  , c’est le cas où ses paramètres valent s = 1,v = 12  , et x = pq  varie.

La fonction Arctan s’exprime de cette manière avec la fonction Y  . Ainsi, on a

            oo                  (       )         (         )
arctan(x) =  sum  (-1)kx2k+1-= x-Y  -x2,1, 1 =  x.F    12,1 ,-x2
           k=0   2k+ 1      2         2     2 2 1   32
(27)

Ceci signifie que les formules d’Arctan type Machin s’expriment comme combinaison linéaire de la fonction Y  . Par exemple, on a d’après la formule d’Euler p = 20arctan(1-)+ 8arctan (3-):
             7           79

        (        )       (          )
    10     -1   1    12     --9-   1
p =  7 Y - 49,1,2  + 79Y   -6241,1,2
(Euler)

On a affaire ici à des séries rationnelles qui ont constitué la principale manière de calculer Pi entre leur découverte ”officielle” par Machin (1705) et celle des algorithmes modernes de type Brent-Salamin / Borwein à la fin des années 70.

Cette formule correspond en notation hypergéométrique à la forme

    10    (  1      1)   12    (  1      9  )
p = -- .2F1   2,31 ,- --  + --.2F1   2,31,- ----
     7        2    49    79        2    6241
(28)

Les démonstrations s’effectuent en utilisant la formule

      (1)         (  1  )        (     q     )
arctan  -  = arctan  ----- + arctan  -2--------
       p            p+ q           p + pq+ 1
(29)

plusieurs fois. C’est lourd, autant le dire ! Une méthode simple a été élaborée par les Borwein en 1987, qui consiste à montrer qu’une formule

 sum n        (  )
   akarctan  -1- = arctan(1) = p-
k=1          uk               4
(30)

est équivalente à l’expression complexe

 prod n (     )ak
    uk-+-i   = 1
k=1 uk - i
(31)

A partir de là, les preuves des formules d’arctan deviennent aussi simple qu’un produit de nombres complexes !


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