12 Autres coefficients binomiaux

Il n’y a pas que les coefficients binomiaux centraux dans la vie ! On peut également trouver des séries avec d’autres combinaisons au dénominateur, par exemple. Une autre idée est aussi utile : les nombreuses séries avec peuvent astucieusement être accélérées en prenant uniquement une partie des termes de cette série, par exemple en gardant les . Voici donc un petit florilège de séries donnant , ou , et qui ne sont sans doute pas toutes connues. Suit la démonstration pour quelques-unes d’entre elles. Certaines sont parmi les plus rapides des séries rationnelles connues !

Sauf mention explicite, ces séries sont des découvertes personnelles, modulo les références que je ne connaitrais pas !

12.1 Formules primitives

Dnas tout ce document, on appellera formule rimitive celle qui minimise le degré des polynômes considérés dans les séries, et qui minimise le nombre de membres d’une série comme celles des BBP binomiales considérées quelques paragraphes plus bas. En effet, pour une formule polynomiale binomiale , la décomposition en parties paires et impaires (sommes sur et ) fournit une autre série mais qui est pourtant équivalente. Cela dit, peut-être toutes les formules qui suivent ne sont pas primitives, c’est parfois difficile à voir !

12.2 Formules factorielles polynômiales

En premier lieu, on s’intéresse aux séries de la forme , généralisation des séries binomiales centrales vues auparavant.

• Avec   :

(485)

Une telle simplicité, c’est beau...

On a , ce qui permet de conclure que la série précédente apporte un tout petit peu plus d’une décimale par terme, soit une vitesse d’environ .

• Avec   :

(Guillera)

(486)

dont je donne deux démonstrations après toutes les formules.

(487)

cette dernière forme n’étant pas anodine... nous le verrons dans la partie 12.4. [lien].

Notons que ce qui n’est pas inintéressant d’un point de vue calcul ! Mais attendez de voir la suite...

Je rappelle ici que si je mets , cela signifie que l’on gagne déjà plus d’une décimale par itération. Le calcul exact se fait en passant au logarithme décimal (car c’est la réciproque de la fonction donc cela nous donne le nombre de décimales, en base 10, équivalentes au nombre entré). Ici, et le est très grand devant assez rapidement.

• Avec

Je n’ai rien trouvé.... ce qui ne veut pas dire qu’il n’existe rien !

• Avec   :

(488)

Notons que

• Avec   :

La dernière formule est parmi celles à faire apparaitre un mais pas de pour la même puissance au dénominateur...

Notons que .

• Avec   :

C’est l’ordre de la relation de Bellard . C’est un ordre un peu particulier, parce que est un nombre impair ( !). Numériquement, c’est le seul ordre (enfin je crois) pour lequel on trouve un coefficient impliqué.

(492)

mais aussi

(493)

En ce qui concerne la vitesse de convergence, on a

• Avec   :

(494)

Avec

• Avec   :

On a

• Avec   :

(497)

Cette fois, on a

• Avec   :

(498)

Au niveau des équivalences, on a

• Avec   :

(499)

Avec

• Avec   :

(500)

(501)

(502)

la vitesse est de

• Avec   :

(503)

(504)

la vitesse est de  :

• Avec   :

(505)

avec

(506)

avec

(507)

avec

On notera au passage que  ! ! La dernière formule ajoute un peu plus de 6 décimales nouvelles à chaque itération ! C’est maintenant meilleur que la meilleure des séries rationnelles de Ramanujan  !

• Avec   :

(508)

. Impossible hélas de trouver une formule pour .

• Avec   :

(509)

où

(510)

où

mais aussi

où

Et si l’on regarde la rapidité de convergence, on obtient

ce qui assure 12 décimales nouvelles à chaque pas de la série !

Malgré sa complexité apparente, c’est une série rationnelle, donc simple à mettre en oeuvre. Le calcul des coefficients binomiaux centraux peut en outre s’effectuer de manière récursive d’un pas sur l’autre.

• Avec   :

où

12.3 Alors, que dire de tout cela ?

Plusieurs remarques s’imposent :

• Les gros coefficients devant les constantes se factorisent en produit de nombres premiers assez simples en général, mais cela n’apporte guère d’information sur la nature des coefficients... Ceux à l’intérieur des parenthèses contiennent par contre de gros facteurs premiers.

Exemple : Devant le coefficient de de la dernière série (dénominateur de la fraction devant la série), on a alors que le premier coefficient de la parenthèse se factorise comme suit : (ce qui est nettement moins simple !).

• En second lieu, on peut déjà noter qu’à chaque ordre où il existe des relations avec et le logarithme, on trouve des séries de somme nulle comme pour les séries BBP. Je pense qu’elles le sont en fait ”mécaniquement” et il doit exister un polynôme de degré au moins qui annule . Mais je n’en ai pas la preuve.
• Ensuite, il semble que seules des constantes bien déterminées soient représentables sous cette forme. Pour ma part, avec ce genre d’explorations, je n’ai jamais trouvé autre chose que . Pas de ou à l’horizon... je veux bien pour , mais pour les logarithmes c’est tout de même étonnant !
• On peut remarquer également que la répartition des signes est si régulière (surtout dans cette présentation deux par deux dans la parenthèse !) pour donner une constante, qui a priori n’a pas d’existence plus justifiée qu’une autre... à moins que ou , ce soit vraiment du morceau... En outre, entre les formules pour et les formules pour , les coefficients sont de même ordre et même signe.
• Les coefficients également sont remarquables. Ils sont croissants selon les puissances, jusqu’à un certain point, puis sont décroissants par la suite, comme si ils avaient atteint un maximum. Ce phénomène est particulièrement visible avec la présentation de la série en où l’on peut observer que le coefficient maximal survient devant (et comme par hasard, une puissance de  et le tiers de 48 !).
• On peut remarquer enfin que hormis le cas , on a en général des formules pour des combinaisons du type , où . Et grâce aux propriétés des combinaisons, on sait qu’une formule avec est aussi une formule avec puisque . On peut déjà dresser un petit tableau des formules qui doivent apparaitre naturellement. En effet, on remarquera qu’entre toutes ces formules, nous avons des traits singuliers qui reviennent. Ainsi, il existe systématiquement des formules du type où est de degré et . On a aussi des formules pour et . Ce dernier point est confirmé par l’article [7]. Pour les on a souvent des mais pas toujours (). Pour les  on a toujours des et parfois des (car  !). Pour les on a des séries avec uniquement il me semble. Dans tous ces cas, si il n’y a pas de puissance de , on tombe sur une série donnant . Si il y a une puissance de 2, on a du ou du . Facile ! Pour toutes ces formules, avec un le polynôme fonction de utilisé au numérateur a pour degré au plus ou plus souvent .

12.4 Démonstrations

Ces formules semblent difficiles à démontrer car les fonctions qu’elles représentent et donc les éventuelles équations différentielles quelles vérifient ont peu de chance d’être simples...

Les équations différentielles sont sans doute très compliquées, mais on peut ruser un tout petit peu. Remarquons déjà que l’on connait la somme

(513)

et que la série est la composante paire de la précédente série. Ensuite, on a deux méthodes qui peuvent paraitre naturelles. Une troisième est présentée comme un aboutissement issu de [7].

• La première consiste à construire des équations différentielles d’après les séries à partir de certaines de leurs propriétés (partie paire d’une autre série...). Ensuite, certains cas particuliers de ces équations différentielles vont fournir des séries :

Intéressons-nous au cas de la série .

En premier lieu, on a . Il faut donc extraire de la première série 513 une partie de ses membres (ceux en ). On introduit

(514)

Ce sont, à peu de chose près, les composantes paires et impaires de ... plus précisément,

Cherchons maintenant une relation entre les fonctions et  :

d’où si l’on dérive la relation tirée de 515, on obtient

(518)

(519)

Le membre de droite n’est pas très joli, mais il contient de l’. Il nous suffit maintenant de faire pour trouver

(520)

soit

(521)

et c’est bien la série cherchée.

On peut aussi prendre pour trouver

(522)

ceci permet également de trouver quasiment les mêmes relations pour .

Enfin, on peut utiliser la fameuse relation pour obtenir

(523)

Ce cas marche car on se retrouve avec deux équations pour et , ce qui permet de s’en sortir par une équation différentielle assez utile. Si l’on divise de la même manière en trois parties pour trouver par exemple des séries en , rien n’est garanti ! D’une manière générale, les équations différentielles ne seront sans doute pas résolubles, mais on peut s’en servir pour trouver quelques relations.

• L’autre méthode, que m’a soufflé Gery Huvent , consiste à calculer explicitement certains séries qui sont justement des morceaux d’autres séries, en espérant que des simplifications seront possibles. Pour cela, on utilise le fait que si l’on note la racine -ième de l’unité, on a . Donc avec

  (524)

lorsque est premier, deux cas se présentent : n’est pas multiple de , alors comme les , sont des racines -ièmes de l’unité distinctes, . Si est un multiple de , chaque vaut , donc . Avec tout cela, on obtient la somme seulement sur les multiples de , soit

(525)

Appliquons tout ceci sans plus tarder ! Mais je ne détaille qu’un seul cas, car tout de même, c’est bien lourd...

Prenons le cas avec la série .

On obtient d’une part

(526)

et d’autre part

En rapprochant les deux expressions et en composant par , on obtient l’expression

(528)

On voit ainsi que l’on ne peut obtenir directement avec cette forme une série donnant puisque l’on ne peut annuler le terme devant le logarithme (ou l’on obtient alors une série divergente si l’on avait l’idée de multiplier l’expression par et de prendre ...). Il faut dériver la série 528, ce qui donne après multiplication par  :

ce n’est déjà pas très beau... mais en faisant , on obtient

(530)

et l’on utilise également une dérivation supplémentaire de manière à faire apparaitre une série en , là c’est carrément moche !

en faisant , on obtient

(532)

A partir de là, on utilise 530 et 532 pour obtenir

soit

(534)

Voilà ! Autant dire que les autres séries en se déduisent de la même manière tandis que la méthode semble plus compliquée à utiliser par exemple pour les séries en . Si l’on regarde avec un peu de recul les deux méthodes expliquées ci-dessus, on notera que la première, à base d’équations différentielles, renseigne bien sur la provenance des coefficients des polynômes dans en fournissant directement la formule de formation de ces coefficients au travers de l’équation différentielle. La seconde permet une plus grande liberté en ce qui concerne les séries produites puisque l’on a l’expression exacte de la série.

• La méthode présentée maintenant donne une piste de démonstration pour chaque formule ci-dessus. Elle est issue de l’article [7].
  Cette méthode consiste à représenter la combinaison comme une intégrale, puis de sommer et donc d’obtenir une intégrale équivalente à la série, ce qui doit pouvoir se résoudre plus facilement. Explications !
  

  On considère tout d’abord la représentation intégrale de la fonction Bêta, qui fournit aux valeurs entières la formule

  (535)

  On somme ensuite sur pour obtenir la représentation équivalente de la somme sous forme intégrale

  (536)

  Le polynôme est la clé du problème. Si il est de degré , alors pour obtenir la somme de , on dérive successivement et l’on multiple à chaque fois par pour compenser le qui apparait avec la dérivation, ce qui permet d’obtenir

  (537)

  où le polynome est de degré . En écrivant alors que

  (538)

  on a finalement

  (539)

  où est un polynome en de degré . Les racines du polynome vont être fondamentales en ce qui concerne l’apparition des constantes. En effet, si divise ce polynome, on aura du , après décomposition en éléments simples, qui apparaitra. Si divise , on aura du . Les auteurs ne semblent pas considérer de condition explicite sur les valeurs et pour voir apparaitre des constantes remarquables, ce que nous ferons, nous, pour les formules BBP factorielles !

12.5 Combinaisons rapides : Formules factorielles BBP

De la même manière que les 12.2, on peut trouver des formules factorielles ayant la forme de séries BBP. Elles sont tout aussi rapides ! On s’intéresse donc désormais aux séries de la forme , généralisation des séries BBP.

En voici un petit florilège, parmi lesquelles la démonstration de la formule de Guillera est fournie. On se rendra compte à cette occasion que la méthode ne diffère guère de la deuxième présentée pour les formules factorielles rapides non BBP.

Puis une méthode de démonstration plus générale inspirée des idées de [7] fera l’objet d’une section spéciale !

Notons que peut-être contrairement aux formules factorielles polynomiales, il est ici vraiment fondamental de trouver des séries que l’on appellera ”primitives” car on peut facilement voir qu’une formule en fera éclore mécaniquement une formule en par division de la somme en parties paires () et parties impaires () puis regroupement des termes.

A une formule est donc aussi associée une formule en , etc... Mais il n’est pas sûr que j’ai toujours écrit ici uniquement des formules ”primitives” ! Pas grave, elles sont si belles :-) On est au moins certains que pour une somme , si , on a une formule primitive...

Un exemple encore pour comprendre cette duperie dans le cas des formules BBP binomiales : pour accélérer artificiellement les séries, on peut réorganiser les termes de manière à obtenir par exemple mais cela se voit lorsque l’on factorise les entiers qui ont alors une facheuse tendance à être assez simples... L’exemple type, c’est ce que m’a fait remarquer Jesus Guillera. La formule

qui semble très rapide, est essentiellement réductible à la formule puisque cela revient à prendre pratiquement. On voit cela au fait que les coefficients entiers utilisés sont très simples ( principalement).

• Avec   :

(Guillera)

(541)

(Guillera)

• Avec   :

(Guillera)

(Guillera)

(542)

(543)

(Guillera)

• Avec   :

(Guillera)

(Guillera)

• Avec   :

Tout comme la formule de Bellard, on trouve pour les tout plein de sommes très intéressantes

(544)

(545)

(546)

(547)

(548)

On obtient également comme souvent des représentations de 0, uniquement pour les combinaisons qui donnent lieu par ailleurs à des valeurs de constantes remarquables ( et ).

(549)

En cherchant du côté des puissances de 3, on trouve également notre bonheur

(550)

mais à vrai dire, c’est bien tout !

• Avec

(551)

On ne connait pas de formule pour ...

• Avec   :

(552)

(553)

A noter que l’on ne peut apparemment pas trouver là non plus de formule similaire pour , ce qui semble plutôt étonnant ! D’autre part, la répartition des signes des membres de la parenthèse ne semble rien avoir d’aléatoire... Serait-ce donc une formule primitive ? ?

• Avec   :

(Guillera)

Jesús Guillera a fourni cette jolie et très simple formule en novembre 2001 mais elle n’est pas vraiment une formule primaire mais est plutôt issue d’une formule en .

• Avec   :

(Guillera)

• Avec   :

Les formules qui suivent ne sont probablement plus des formules primitives mais bon.... c’est tout de même joli :-)

(554)

Vous aurez remarqué que , ça c’est vraiment joli !

(555)

(556)

la vitesse est de

• Avec   :

(557)

où

(558)

où

On peut même trouver une fonction du même type avec , ce qui représente bien la manière la plus rapide depuis longtemps de calculer 0 ! !

• Avec   :

Si c’est pas beau, cela.... admirez la décroissance parfaitement régulière des coefficients entiers....

En ce qui concerne la vitesse, on a  : soit donc 18 décimales nouvelles par itération, sympa ! Mais évidemment, plus de termes sont à calculer donc l’un dans l’autre...

12.6 Alors, que dire de tout cela ?

Cette fois encore, quelques remarques :

• Les gros coefficients devant les constantes se factorisent en produit de nombres premiers assez simples en général, mais cela n’apporte guère d’information structurelle sur la série...
• Les coefficients entiers sur les se factorisent mais pas toujours avec des puissances de 2 par exemple. Cela hélas n’apporte pas vraiment d’indication quant au fait que la série découle ou non d’un découpage facile d’une série d’un ordre inférieur.
  
• Un des inconvénients de ces formules est de devoir utiliser termes en lorsque l’on a affaire à un coefficient dans la série. Pour les séries polynomiales, on avait plutôt termes dans ce cas...
• Et les ordres supérieurs ? C’est-à-dire les constantes , etc... ? les séries du genre [lien vers ma formule cube] utilisent des coefficients binomiaux centraux, mais avec d’autres coefficients binomiaux ? eh bien bizarrement on ne trouve pas vraiment de formule BBP au sens habituel, avec plein de termes . Pas d’explications à ce phénomène si ce n’est la complexité des intégrales mises en jeu, qui ne donne pas de constante remarquable, mais ce n’est pas très satisfaisant... Il faudrait étudier en détail les diviseurs des polynômes au dénominateur des formules. Quelques éléments tout de même un peu plus bas.
• On peut se demander à la vue des séries un peu équivalentes polynomiales et BBP (on en trouve pour les mêmes valeurs des coefficients ) si il existe des formules ”canoniques”, des formules de bases, les plus simples possibles au sens de l’écriture factorielle. En effet, on pourra remarquer que les séries BBP se mettent sous la forme polynomiale si on le veut bien

  
  avec . Mais bien sûr, on voit là que l’on ne peut plus mettre les factorielles sous la forme d’une combinaison. Ce n’est pas purement notationnel, les combinaisons ont un vrai sens et une cohérence dans le développement en série entière comme le montre la formule du binome de Newton.
  En fait, les représentations intégrales montrent que souvent la forme BBP est plus naturelle et simple que la forme polynômiale, mais ce n’est qu’une remarque intuitive, il manque encore une clarification de l’évaluation de la complexité d’une de ces séries par rapport aux autres.

12.7 Démonstration typique

Jesús Guillera et moi-même proposons ici une méthode de démonstration de ces formules (ne comportant pas de terme ), destinée à montrer l’existence d’une preuve de ce type pour chaque formule, suivie d’une application à la première formule de la section. Cette méthode est inspirée de celle de [7], en tentant d’aller un tout petit peu plus loin dans le détail...

12.7.1 La méthode

La série se présente sous la forme

(559)

Chouette...

On utilise la représentation intégrale d’une fonction Beta pour obtenir directement que

(560)

ce qui nous fournit la somme

dont on peut se sortir par une décomposition du dénominateur en éléments simples (attention, je n’ai pas dit que c’était facile ! :-) ).

Bien, mais que fait-on pour les ,  ? ?

Pour un fixé, la décomposition en éléments simples de vu comme une fraction rationnelle en n donne une séquence telle que

(562)

avec . Pour toutes les valeurs de à , on dispose donc de séquences que l’on peut combiner linéairement pour former les coefficients de la somme . C’est équivalent à écrire et résoudre le système

(563)

Le vecteur B contient les coefficients de la combinaison linéaire des intégrales contenant , ce qui fournit le polynôme de degré tel que

Voilà, ce n’est pas plus difficile que cela !

On peut aussi, dans un souci de construction des formules et non plus de preuve, choisir un polynome qui simplifie volontairement certains diviseurs au dénominateur de l’intégrale équivalente. On se retrouve alors dans une situation dont on parle plus longuement 12.7.4.

12.7.2 Application : La démo de la première formule

On reprend la première formule Guillera

(565)

On utilise la formule intégrale

(566)

qui se montre par récurrence par exemple pour les puristes ! On en déduit que

Pour , c’est un peu plus compliqué, mais on peut s’en sortir quand même en suivant la méthode de la section ci-dessus, à savoir que

(568)

On a

donc

(571)

ce qui est équivalent à considérer que le fameux polynôme à chercher est car on a

(572)

comme le polynôme est simple, on a pu le déterminer explicitement, mais ce ne sera pas toujours le cas (voir démo plus bas).

Le calcul est maintenant direct

donc finalement en reprenant la méthode de la 6.2de Gery Huvent , on a

(574)

On choisit maintenant pour annuler la participation de notre cher et obtenir Guillera. On peut également prendre pour obtenir 541.

12.7.3 Démo de la formule en

Jesus Guillera et moi-même proposons maintenant une preuve rapide d’une des plus belles formules du lot, à savoir 546.

On rappelle que le principe consiste à chercher le polynôme  tel que

Bien que la solution, pour chaque k, ne soit pas unique, on sait que le degré de  est . Par la méthode du système linéaire, on obtient

Maintenant, on déroule....

Avec les de la formule 546, on a

et

(575)

Incroyable, non ? ? Que cette si grosse somme soit en fait équivalente à une intégrale aussi simple, c’est assez génial !

12.7.4 Prédiction des formules

A la vue de la démonstration, on peut se demander si il existe un moyen de prévoir pour quelles combinaisons il existe une formule. Je n’ai pour l’instant pas de réponse exhaustive, mais une condition suffisante est déjà assez simple à exhiber.

On a vu en effet avec la formule en que l’intégrale était équivalente à . Cela provient du fait que divise et le polynôme au numérateur (donc les coefficients) sert donc uniquement à simplifier l’autre facteur. Or pour les formules non alternées, le polynôme du dénominateur est engendré par que l’on appellera un polynome générateur. A partir de là, une condition suffisante d’existence d’une formule pour est que

Donc il faut que et soient racines de . En particulier, on a pour , , . Ceci prouve l’existence d’une formule en pour . Mais comme et sont racines 4-ième de , on peut multiplier par sans changer l’existence des racines et . Ceci prouve alors l’existence d’une formule en .

Tentons de préciser la condition suffisante :

par conjugaison

par passage en module et argument

Les choses sont claires. Pour que l’on puisse obtenir une formule BBP factorielle non alternée grâce à l’intégrale , il faut et il suffit que soit une puissance de , pair plus petit que et surtout la superbe relation de congruence . On vérifiera aisément que les conditions vérifient ces conditions. On trouve aussi que la condition est vérifiée pour , formules que j’avais manqué dans mes expérimentations ! Comme quoi, parfois la théorie va plus vite que la pratique... :-)

En appliquant la même méthode aux séries alternées, aux racines (qui permettent de trouver du grâce à ), au polynôme (pour trouver du ), on trouve les conditions suivantes, et donc les formules suivantes :

Pour les séries non alternées

Pôle	Constante	Condition avec racines	Condition d’existence du pôle	Type de formule existante
				Un paquet vu la relation !
				...
				...

Il faut noter que lorsque l’on a besoin qu’une polynome ayant des racines complexes divise notre polynome générateur, on a besoin seulement que l’une des racines complexes soit racine de ce polynome, par conjugaison (à cause du fait que le polynome générateur est réel). Ce tableau indique par exemple pourquoi l’on trouve si souvent de formules pour mais pas toujours pour . Bien que l’on ait affaire ici à une condition suffisante et pas nécessaire, les conditions sur les logarithmes montrent qu’il est probable que l’on ne puisse pas obtenir d’autres logarithmes entiers que avec des puissances entières.

Pour les séries alternées

Pôle	Constante	Condition avec racines	Condition d’existence du pôle	Type de formule existante
				Un paquet vu la relation !
				...
				...

12.8 Produit de combinaisons

Une très intéressante question concerne la possible présence de plusieurs combinaisons dans une série donnant . Je dois vous avouer que je pensais cela peu probable, jusqu’à la découverte de la formule suivante en décembre 2001, due à Jesús Guillera

(Guillera)

La même avec des factorielles

(Guillera)

On a aussi

(Gourevitch)

soit

(Gourevitch)

Alors, d’où cela vient-il ? Eh bien au lieu de partir de puissances entières dans l’intégrale, on passe par des puissances rationnelles et en particulier des racines carrées. En effet, en considérant l’intégrale

(576)

on obtient des sommes de la forme

(577)

soit par example pour et

(578)

ou encore pour et

(579)

Les sommes BBP se déduisent alors après intégration pour donner des formules du type

(580)

(581)

Pour la première formule Guillera, on considère par exemple l’esquisse de preuve suivante

Preuve.

et l’on utilise ensuite les valeurs connues de .  _

Un autre exemple comprend

où est la fonction elliptique de première espèce en la première valeur singulière, célèbre contante de la théorie elliptique !

Il est obtenu à partir de

(583)

et

(584)

et l’intégrale

(585)

Tout ceci ouvre des perspectives très intéressantes !

Notez également que la forme BBP est une forme très générale des séires dans la mesure où même les formules du genre de celles de Ramanujan peuvent se mettre sous la forme BBP, comme

(586)

Par contre, hélas, nous n’avons pas encore trouvé de méthode pour prouver ces formules avec la méthode Bêta...

Beaucoup plus de détails et quelques autres formules sont donnés dans l’article [13], disponible prochainement j’espère !