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L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013



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12 Autres coefficients binomiaux

Il n’y a pas que les coefficients binomiaux centraux dans la vie ! On peut également trouver des séries avec d’autres combinaisons au dénominateur, Cn3n  par exemple. Une autre idée est aussi utile : les nombreuses séries avec Cn2n  peuvent astucieusement être accélérées en prenant uniquement une partie des termes de cette série, par exemple en gardant les C24nn  . Voici donc un petit florilège de séries donnant p2  , ou ln(2)  , et qui ne sont sans doute pas toutes connues. Suit la démonstration pour quelques-unes d’entre elles. Certaines sont parmi les plus rapides des séries rationnelles connues !

Sauf mention explicite, ces séries sont des découvertes personnelles, modulo les références que je ne connaitrais pas !

12.1 Formules primitives

Dnas tout ce document, on appellera formule rimitive celle qui minimise le degré des polynômes considérés dans les séries, et qui minimise le nombre de membres d’une série comme celles des BBP binomiales considérées quelques paragraphes plus bas. En effet, pour une formule polynomiale binomiale  sum o o -P(n)-
  n=02knCn2n  , la décomposition en parties paires et impaires (sommes sur 2n  et 2n+ 1  ) fournit une autre série  sum o o   Q(n)
  n=0 22knC24nn mais qui est pourtant équivalente. Cela dit, peut-être toutes les formules qui suivent ne sont pas primitives, c’est parfois difficile à voir !

12.2 Formules factorielles polynômiales

En premier lieu, on s’intéresse aux séries de la forme  sum o o -P-(n)-
  n=02knCjnajn  , généralisation des séries  sum o o  P-(n)--
  n=0 2knCn2n  binomiales centrales vues auparavant.

  • Avec   2n    1n
C 3n = C 3n    :

 sum  oo 
    -6n+-5n0n-= p
n=0  2 C3n
(485)

Une telle simplicité, c’est beau...

On a 2nCn3n  ~   a13 V~ .5n
      n--> oo     n  , ce qui permet de conclure que la série précédente apporte un tout petit peu plus d’une décimale par terme, soit une vitesse d’environ 1.13n  .

  • Avec   2n
C 4n    :

- 22    sum  oo  (- 1)n2n
----+ 2   ----2n- (7- 30n) = p
  3    n=1  C 4n
(Guillera)

 oo  sum 
   --27+-270n = 4p V~ 3
n=0   C2n4n
(486)

dont je donne deux démonstrations après toutes les formules.

 sum  oo  -405-+1134n-
       4nC2n    + 384 = 16 ln(2)
n=0       4n
(487)

 oo  sum  - 384+ 3072n(16 )n    sum  oo  - 1944+ 10692n( 16 )n
   ------2n----  --   +    -------2n-----  ---   + 2000 = 75p
n=0    C 4n       25     n=0     C 4n        100

cette dernière forme n’étant pas anodine... nous le verrons dans la partie 12.4. [lien].

Notons que   2n       16n-
C 4n n-->~o o   V~ n  ce qui n’est pas inintéressant d’un point de vue calcul ! Mais attendez de voir la suite...

Je rappelle ici que si je mets 16n  , cela signifie que l’on gagne déjà plus d’une décimale par itération. Le calcul exact se fait en passant au logarithme décimal (car c’est la réciproque de la fonction 10x  donc cela nous donne x  le nombre de décimales, en base 10, équivalentes au nombre entré). Ici,     (   )
log10  1 V~ 6nn- = 1.2n-  12 log10(n)  et le n  est très grand devant log10(n)  assez rapidement.

  • Avec C2n
  5n

Je n’ai rien trouvé.... ce qui ne veut pas dire qu’il n’existe rien !

  • Avec C3n
  6n    :

 sum  oo  972- 6561n+ 15309n2            V~ -
    --------C3n---------- 1296 = 40p  3
n=0          6n
(488)

Notons que   3n       64n-
C 6n n-->~o o   V~ n

  • Avec   2n
C 6n    :

pict

La dernière formule est parmi celles à faire apparaitre un ln(2)  mais pas de p  pour la même puissance au dénominateur...

Notons que C2n   ~  a (-66)n  ~~  a(4 V~ 6)n
  6n n-->o o    2244        n  .

  • Avec C2n
  7n    :

C’est l’ordre de la relation de Bellard . C’est un ordre un peu particulier, parce que 7  est un nombre impair ( !). Numériquement, c’est le seul ordre j  (enfin je crois) pour lequel on trouve un coefficient nj-2  impliqué.

    ( 65979888- 1181293644n+ 6191776770n2- 17657815350n3)
  oo  sum               +18752083422n4- 5314039086n5
    ------------------------2nC2n------------------------- -86359168 = 740025p
n=0                             7n
(492)

mais aussi

   (                                     )
         271906001328- 3918976142938n
      +21587589744115n2- 50172923799365n3
 oo  sum  ---+56223128657342n4 +-22573799287772n5--
                    2nC2n7n                  - 264159407778 = 124324200ln(2)
n=0
(493)

En ce qui concerne la vitesse de convergence, on a 2nC2n   ~   a(-77-)n  ~~  a (13 V~ 2)n
   7n n--> oo    2255        n

  • Avec C2n
  8n    :

   (      172432908318- 2790899445213n    )
      +16668235200353n2- 42758901871730n3
 sum  oo   +50771457154396n4- 21833905721320n5
   ------------------4nC2n----------------- - 168573734400 = -147026880ln(2)
n=0                     8n
(494)

Avec  n 2n       (  88-)n    (360)n-
4 C8n n-->~o o  a 4 2266   ~~  a  V~ n

  • Avec   4n
C 8n    :

pict

On a   n 4n       (88)n          n
16 C8n n-->~o o  a 48    ~~  a(4096)

  • Avec C3n9n    :

   (                                         )
          2432748 - 47198830n + 314662272n2
 sum  oo ---958580892n3 +-1342529748n4--768151350n5-
                      8nC3n9n                    -2301696 = -15015p
n=0
(497)

Cette fois, on a n  3n       ( -99-)n       n
8C 9n n~--> oo  a 83366    ~~  a2460

  • Avec   2n
C 10n    :

    (      250485147675 - 5936814044607n      )
       +52544973042581n2- 215675737481744n3
      +449152546743385n4 -444526162997758n5
 sum  oo    +34376346918444n6 +76601758034424n7                                V~ -
    --------------------2n--------------------- 30683221875 = -8079671600p  3
n=0                    C10n
(498)

Au niveau des équivalences, on a            (  10)n
C21n0n n-->~ oo   a  102288-   ~~  a149n

  • Avec C3n12n    :

    (                                            )
           355802970745720- 8585041645767210n
       +81615477992592869n2-333211330576835622n3
      +655621008551811783n4- 352741368593950830n5
      - 556073914030962489n6+920192581802693862n7
  oo  sum  --------------379330413567463683n8--------------                                 V~ -
                         C3n12n                      -338812710016000 = -120725404800p  3
n=0
(499)

Avec  3n        (1212)n      n
C12n n~--> oo  a 3399    ~~  a852

  • Avec   4n
C 12n    :

    (      38076224256- 1074010706880n      )
       +11279342361792n2- 59037649865344n3
      +170466696380928n4- 278182243508224n5
 sum  oo    +241235982262272n6-88848355655680n7
    -------------------n-4n-------------------37679385600 = - 43648605p
n=0                  16 C12n
(500)

   (                                              )
           326440320157431 -28937516611612130n   3
       +89908515866103392n4-441885501076996544n  5
 oo  sum     +1177159045662595328n -6 1729916148121063424n7
   ---+1316777873347407872nn--44n04436261768519680n------326281074064200 = - 8380532160p
n=0                     16 C12n
(501)

   (                                                 )
          -14097558940862121+2 389204231048912622n  3
       -3953865455193366256n +19661803268086575136n
  oo    - 52846597819262937088n4+778039428452651376644n5
 sum  -----58535200950020276224n6+17424985780117307392n7---+359523048663 = - 268177029120 ln(2)
n=0                      256nC41n2n
(502)

la vitesse est de                (      )
256nC4n   ~   a 2561212-n  ~~  531441n
     12n n--> oo       4488

  • Avec C6n
  12n    :

    (                           )
          1740852- 38174085n
       +264952863n2-815781618n3
 sum  oo --+1147203972n4--644815080n5----                 V~ -
                 C61n2n             - 1679616 = -6160p  3
n=0
(503)

    (    -14717727054+ 312245502345n    )
      - 2064710463597n2+5822757762786n3
 sum  oo   - 7306291257516n4+3343524913512n5
    ----------------6n---n---------------+14716428288 = 394240ln(2)
n=0                C12n64
(504)

la vitesse est de               (    12)n
64nC61n2n n~--> oo  a 64162666-   ~~  262144n   :

  • Avec C6n18n    :

  oo 
 sum  P-(n)-14184611224629819300 = 32541813304000p V~ 3
n=0 C61n8n
(505)

avec               14176156929732225900 - 632834547957106992000n
          +10870535340008572095495n2 - 97312752507652497923274n3
        +512280981936407241803853n4- 1677608112864248615276964n5
P (n) = +3464504827463767568699322n6 - 4389617823914659523895468n7
        +3047445608666357208880512n8- 662159753036907439330656n9
        - 423196182699119543819232n10 + 214663956171311152763712n11

 sum  oo  P(n)
   --n--6n+1895389046876422190318400 = 161731979240832000 ln (2)
n=064 C 18n
(506)

avec                - 18953957365336602485173502+ 88718418961818586370893385n   3
          - 1640772073640628436250559957n 4+ 16266757793935182287966062690n -5
P (n) =    98166577084756978666140492660n 6+ 384563780652279067490128227120n  7
        -1009244981043062390325473240256n8 + 1789495235800681177225726017120n9 -
         2114731370352057790001239912320n10+1594631600862337977789113228160n1-1
          693512658595516062956146117632n  + 132257667454051420111105497600n

  oo 
 sum   -P-(n)--+1565767793815142400 = 52647128659125p
n=0 64nC61n8n
(507)

avec                -1566259769242649600 +74380856960349239360n
          - 1404907786091424993952n2 + 14324220750452155291840n3
         - 89528655619328696225760n4 + 365931942892429890856320n5
P (n) = -1009918573918657336233216n6 + 1899526509357067346296320n7
        -2404490163304300329323520n8 + 1964360952134061230453760n9
        - 938411873139437499082752n10 + 200312172515602364313600n11

On notera au passage que 64nC6n   ~   a(64-1818-)n  ~~  6053400n
    18n n--> oo      121266   ! ! La dernière formule ajoute un peu plus de 6 décimales nouvelles à chaque itération ! C’est maintenant meilleur que la meilleure des séries rationnelles de Ramanujan  !

  • Avec C122n4n    :

    (                                                    )
             4231942624137060 - 222759564240763665n
         +4385614031516211939n2-45616240090032011370n3
       +288113577357095245620n4-1184133888632911121640n5
       +3276284359477677553152n6- 6164738823471380184960n7
       +7793201634519570416640n8- 6347445587443372677120n9
 sum  oo --+3017311363298550841344n10-638959960656262103040n11---                                 V~ -
                             C1224nn                          -4231494800064000 = -41644002400p  3
n=0
(508)

  12n     ( 12)n          n
C24nn-->~o o  2      ~~  16777000  . Impossible hélas de trouver une formule pour p  .

  • Avec   16n
C 32n    :

 sum  oo  P(n)                                         V~ -
    -16n--5751162662492062771200 = 935948953940000p  3
n=0 C32n
(509)

                 - 5751172814242964199525+ 431521408590208193289330n
            - 12603727549612641868970688n2 + 201946668204590211911196960n3
          - 2047087065971276065760666112n4 + 14165961499688329616190676992n5
          -69997594901404885250357624832n6 + 253748666775695272192598999040n7
P(n) =   -685053118985113141250931818496n8 + 1384816706184068494846303666176n9
       - 2088250793463253952490909990912n10 +2315666621747475203456740884480n11
        -1834031550806791394823443054592n12 + 982464432301136793019405565952n13
         -319253432772702624859677523968n14 + 47590573803868948158291640320n15

 sum  oo  P (n)
   ---n--16n + 8923391361809421872736614400 = 2338547211.13.17.19.23.29.31p
n=0256 C 32n
(510)

                  8923391346671538132476623725-2665206805283623996428461672720n     3
            +19234784845151225969596207764237n 4- 304151310790319471452952294968086n  5
          +3032958911347016158089740357038016n 6- 20576037941520000660127171571143328n 7
P(n) =    +99294811157156339256068440506994944n 8- 350018237892823871397833615112153088n 9
         +914268728549376302315970998665658368n10- 1777620930511060794594593827649224704n 11
       +2560116484483562303674928488404484096n 12- 2688153090709441777294170302212734976n13
        +1994646664772435098534901910513647616n14 - 987669694437093352756584653885800448n15
         +291530209843404894708880474005045248n  - 38563221903276982647173755070054400n

mais aussi

 sum  oo   P(n)
    ---n-16n- 5618174347094280909397150924800 = 786017419110443520000 log(2)
n=0 256 C32n

                  5618174347548089898981989892075 - 421098079220529602568327860126490n
            +12279158984607989711854217378240304n2 - 196320130925997777597664903245042912n3
          +1984645970323542311490123954102121472n4 - 13688177767013745425057397228460978176n5
          +67364519495207601370423942235494350848n6 - 243021071568401760035506416710784516096n7
P(n) =   +652276342765602853078565522814172921856n8 - 1309340663714878748772460572435460128768n9
       +1957782039035544577182285734185724280832n10- 2148775807107880796770359601282827681792n11
        +1680566813227110462017445252816984604672n12 -886352566529628907272207202135327113216n13
         +282456627503213365917892411798444834816n14 -41068230823970564113517731323366604800n15

Et si l’on regarde la rapidité de convergence, on obtient

   n 16n       ( 83232)n                n
256 C32n n-->~ oo   a 2 1632    ~~  1099511 627 776  ce qui assure 12 décimales nouvelles à chaque pas de la série !

Malgré sa complexité apparente, c’est une série rationnelle, donc simple à mettre en oeuvre. Le calcul des coefficients binomiaux centraux peut en outre s’effectuer de manière récursive d’un pas sur l’autre.

  • Avec C244n8n    :

pict

P(n) = - 3841403444306253083992509771327832500 +471148214634256669931181490304104333125n

                                          2                                           3
- 23480822326039365418691160664239300395775n + 666353782635656300780601331418642024797170n                                                4                                              5
- 12417264254262731471457553661953159748556036n + 164349539045865484455081586061158801910482824n                                                                                                                                        6                                                7                                                 8                                                 9
                                                                                       -1622809383811255876123664026332895835355126528n  + 12355975073531641668406952243794826844294207360n  - 74244199819829674727637631331612966036993780736n  + 3579438699
                                                  10                                                  11
- 1401040504596445070899138565913722649517902102528n   +4488300494138137535781366329518100596922844610560n
                                                  12                                                   13
- 11827398936905381920358994038925975320579657957376n   +25695792588467683854423928595051100389120969539584n
                                                  14                                                   15
- 46008127131406502564765669946976843765906667470848n   +67674182522091504564791351456373805642285433487360n
                                                  16                                                   17                                                   18                                                   19
- 81254118178422030960760468039239656346429891280896n   +78808966451353174037517246676769934231381227864064n  - 60775164646173353226062113514203716402153529540608n  + 36385314363927335868453330316855779017586439618560n
                                                  20                                                  21
- 16298284219960028553979877506702436175888783507456n   +5139260980144703889225203033782459240512648904704n
                                                  22                                                23
- 1017402895725449845366234974452573952900845273088n   +95133777262638723375339529534690070114850570240n

12.3 Alors, que dire de tout cela ?

Plusieurs remarques s’imposent :

  • Les gros coefficients devant les constantes se factorisent en produit de nombres premiers assez simples en général, mais cela n’apporte guère d’information sur la nature des coefficients... Ceux à l’intérieur des parenthèses contiennent par contre de gros facteurs premiers.

Exemple : Devant le coefficient de p  de la dernière série (dénominateur de la fraction devant la série), on a 1535190 271 700085000 = 2338547211*13 *17* 19* 23 *29 *31  alors que le premier coefficient de la parenthèse se factorise comme suit : 8923391346671538132476623725 = 35527213 31 47 20 482 861248481 77267  (ce qui est nettement moins simple !).

  • En second lieu, on peut déjà noter qu’à chaque ordre où il existe des relations avec p  et le logarithme, on trouve des séries de somme nulle comme pour les séries BBP. Je pense qu’elles le sont en fait ”mécaniquement” et il doit exister un polynôme P  de degré au moins k  qui annule  sum 
 o o n=0 PC(jnn)
       kn  . Mais je n’en ai pas la preuve.
  • Ensuite, il semble que seules des constantes bien déterminées soient représentables sous cette forme. Pour ma part, avec ce genre d’explorations, je n’ai jamais trouvé autre chose que     V~ -
p,p  3,ln(2)  . Pas de   V~ - V ~    V~ -
p  2,p  5,p  6,ln(3)  ou   ln(5)  à l’horizon... je veux bien pour p  , mais pour les logarithmes c’est tout de même étonnant !
  • On peut remarquer également que la répartition des signes est si régulière (surtout dans cette présentation deux par deux dans la parenthèse !) pour donner une constante, qui a priori n’a pas d’existence plus justifiée qu’une autre... à moins que      p2  ou ln(2)  , ce soit vraiment du morceau... En outre, entre les formules pour p  et les formules pour ln(2)  , les coefficients sont de même ordre et même signe.
  • Les coefficients également sont remarquables. Ils sont croissants selon les puissances, jusqu’à un certain point, puis sont décroissants par la suite, comme si ils avaient atteint un maximum. Ce phénomène est particulièrement visible avec la présentation de la série en C2448nn  où l’on peut observer que le coefficient maximal survient devant n16  (et comme par hasard, une puissance de 2   et le tiers de 48 !).
  • On peut remarquer enfin que hormis le cas C27nn  , on a en général des formules pour des combinaisons du type    Chnkn  , où h| k  . Et grâce aux propriétés des combinaisons, on sait qu’une formule avec C3n12n  est aussi une formule avec    C9n12n  puisque C31n2n = C9n12n  . On peut déjà dresser un petit tableau des formules qui doivent apparaitre naturellement. En effet, on remarquera qu’entre toutes ces formules, nous avons des traits singuliers qui reviennent. Ainsi, il existe systématiquement des formules du type  sum o o  P(knn)= a.pV ~ 3
  n=0 C2kn  P  est de degré k  et a  (-  Z  . On a aussi des formules pour  sum o o --P(n)4kn = a.p
  n=024knC 8kn  et  sum o o   P (n)
  n=0 24knC48knkn-= a.ln(2)  . Ce dernier point est confirmé par l’article [7]. Pour les Ck2nkn  on a souvent des 2knCk2nkn  mais pas toujours (k = 3  ). Pour les Ck4nkn   on a toujours des 2knCk4nkn  et parfois des 23knCkn4kn  (car 3 = 4 - 1   !). Pour les    Ckn3kn  on a des séries avec 2knCk3nkn  uniquement il me semble. Dans tous ces cas, si il n’y a pas de puissance de 2  , on tombe sur une série donnant p V~ 3  . Si il y a une puissance de 2, on a du p  ou du ln(2)  . Facile ! Pour toutes ces formules, avec un     Cjknn  le polynôme P  fonction de n  utilisé au numérateur a pour degré au plus k -j  ou plus souvent max(j- 1,k - j- 1)  .

Remarque 24 Depuis que j’ai écrit ce document, j’ai trouvé un article paru en octobre 2001 [7] qui présente les principes fondamentaux de recherche de telles formules, et qui montre que l’on peut trouver des séries aussi rapides que l’on souhaite avec des coefficients binomiaux centraux du type  4kn
C8kn  .

12.4 Démonstrations

Ces formules semblent difficiles à démontrer car les fonctions qu’elles représentent et donc les éventuelles équations différentielles quelles vérifient ont peu de chance d’être simples...

Les équations différentielles sont sans doute très compliquées, mais on peut ruser un tout petit peu. Remarquons déjà que l’on connait la somme

 sum  oo  22n-1    V~ x-arcsin( V~ x)
   ---n-xn = ---- V~ -------
n=1 nC2n          1- x
(513)

et que la série  sum o o  24n-12n-x2n
  n=1 2nC4n  est la composante paire de la précédente série. Ensuite, on a deux méthodes qui peuvent paraitre naturelles. Une troisième est présentée comme un aboutissement issu de [7].

  • La première consiste à construire des équations différentielles d’après les séries à partir de certaines de leurs propriétés (partie paire d’une autre série...). Ensuite, certains cas particuliers de ces équations différentielles vont fournir des séries :

Intéressons-nous au cas de la série  sum o o  -27+270n-= 4p V~ 3
  n=0   C24nn  .

En premier lieu, on a                    V~       V~ 
 sum o o n=1 2C2nn-1xn = x ddx-x-ar V~ c1si-n(x-x)
        2n  . Il faut donc extraire de la première série 513 une partie de ses membres (ceux en x2n  ). On introduit

       sum  oo  1  4n          oo  sum    1    4n+1
f(x) =   C2n-x  et g(x) =    C2n+1-x
      n=0  4n             n=0 4n+2
(514)

Ce sont, à peu de chose près, les composantes paires et impaires de  sum o o  22n-1 n
  n=1 Cn2n x  ... plus précisément,

pict

Cherchons maintenant une relation entre les fonctions f  et g   :

pict

d’où si l’on dérive la relation                     xarcsin x
g(x) + 1xf(x) = 1+ x8 ddx V~ --(x2)2
                      1-(2)   tirée de 515, on obtient

                                    (               ( ))
d (x     )  1       d (1     )    d      x d xarcsin  x2
dx- 4f(x) + 4f (x) + dx- xf(x)  = dx- 1 + 8-dx V~ ----(x)2
                                               1 -  2
(518)

                                      (               )
      '  (x    1)       (1    1)    d   x d xarcsin (x2)
<====> f (x)  4-+ x- + f(x) 2 - x2  = dx-  8-dx V~ ----(x)2
                                              1 -  2
(519)

Le membre de droite n’est pas très joli, mais il contient de l’arcsin  . Il nous suffit maintenant de faire x = 1  pour trouver

5       1       2   V~ -
- f '(1)-- f(1) =--p  3
4       2       27
(520)

soit

   oo  sum              V ~ 
1    10n-2n1-= -2p  3
2 n=0  C 4n    27
(521)

et c’est bien la série cherchée.

On peut aussi prendre      V~ -
x =   2  pour trouver

 oo 
 sum  n4n-= p-+ 2
n=0C24nn   4   3
(522)

ceci permet également de trouver quasiment les mêmes relations pour g(x)  .

Enfin, on peut utiliser la fameuse relation      ( V~ 1)       ( V~ 1-)  p
arcsin   5  + arcsin   10  = 4  pour obtenir

 oo  sum              (   )n    sum  oo              (    )n
   --384+-3072n  16   +    --1944+-10692n  16-   + 2000 = 75p
n=0    C2n4n       25     n=0     C2n4n        100
(523)

Ce cas marche car on se retrouve avec deux équations pour f  et g  , ce qui permet de s’en sortir par une équation différentielle assez utile. Si l’on divise de la même manière en trois parties pour trouver par exemple des séries en C36nn  , rien n’est garanti ! D’une manière générale, les équations différentielles ne seront sans doute pas résolubles, mais on peut s’en servir pour trouver quelques relations.

  • L’autre méthode, que m’a soufflé Gery Huvent , consiste à calculer explicitement certains séries qui sont justement des morceaux d’autres séries, en espérant que des simplifications seront possibles. Pour cela, on utilise le fait que si l’on note w = e2ipp  la racine p  -ième de l’unité, on a 1+ w + w2 + w3 + ...+ wp-1 = 0  . Donc avec f(x) =  sum o o n=0 anxn
                   (  2 )       ( p-1 )    oo  sum     n(     n    2n    3n        n(p- 1))
f (x)+ f (wx) + f w x  + ...+ f w   x  =    anx   1+ w  + w  + w   + ...+ w
                                      n=0
    (524)

lorsque p  est premier, deux cas se présentent : n  n’est pas multiple de p  , alors comme les wkn  , k  (-  [[0,p- 1]]  sont des racines p  -ièmes de l’unité distinctes, 1+ wn + w2n +w3n + ...+ wn(p-1) = 0  . Si n  est un multiple de p  , chaque wkn  vaut   1  , donc 1+ wn + w2n +w3n + ...+ wn(p-1) = p  . Avec tout cela, on obtient la somme seulement sur les multiples de p  , soit

               ( 2 )        ( p-1 )     sum  oo    np
f(x)+ f(wx) + f w x  + ...+f  w   x  = p   anpx
                                       n=0
(525)

Appliquons tout ceci sans plus tarder ! Mais je ne détaille qu’un seul cas, car tout de même, c’est bien lourd...

Prenons le cas p = 2  avec la série  sum o o  2n- 1     V~ x-arcsin( V~ x)
  n=1 2nCn2n xn =-- V~ 1-x--  .

On obtient d’une part

  oo                       oo                       oo 
 sum  22n-1xn (1+ e2ip2n)=   sum  22n-1xn (1+ (-1)n) =  sum  -24n-x2n
n=1 nCn2n               n=1 nCn2n               n=1 2nC2n4n
(526)

et d’autre part

pict

En rapprochant les deux expressions et en composant par x2  , on obtient l’expression

                                                       (     V~ -----)
 sum  oo -24n--4n   xarcsin-(x)-  xarcsinh-(x)-  x-arcsin-(x)  x-ln-x-+--x2-+-1-
    2nC2nx   =   V~ 1---x2 -    V~ 1-+-x2 =   V~ 1---x2 -      V~ 1-+-x2
n=1    4n
(528)

On voit ainsi que l’on ne peut obtenir directement avec cette forme une série donnant p  puisque l’on ne peut annuler le terme devant le logarithme (ou l’on obtient alors une série divergente si l’on avait l’idée de multiplier l’expression par  V~ ----2
 1 - x  et de prendre      x = 1  ...). Il faut dériver la série 528, ce qui donne après multiplication par x   :

pict

ce n’est déjà pas très beau... mais en faisant    1
x = 2  , on obtient

 sum  oo         V~           V~    (     V~  )
   --12n=  p-3-+ -1 - 2-5-ln  1-+--5
n=1C 4n     27    15    25       2
(530)

et l’on utilise également une dérivation supplémentaire de manière à faire apparaitre une série en  sum 
 o o n=1Cn2n
      4n  , là c’est carrément moche !

pict

en faisant     1
x = 2  , on obtient

 sum  oo         V~ -        V~ -  (     V~ -)
    -n2n-= p--3+ -8 - --5 ln  1-+--5
n=1 C4n    54   75   125       2
(532)

A partir de là, on utilise 530 et 532 pour obtenir

pict

soit

 oo  sum  --27+-270n      V~ 
      C2n     = 4p 3
n=0     4n
(534)

Voilà ! Autant dire que les autres séries en   kn
C 2kn  se déduisent de la même manière tandis que la méthode semble plus compliquée à utiliser par exemple pour les séries en   2n
C7n  . Si l’on regarde avec un peu de recul les deux méthodes expliquées ci-dessus, on notera que la première, à base d’équations différentielles, renseigne bien sur la provenance des coefficients des polynômes P(n)  dans  sum o o  P(n)-
  n=0 Cjknn  en fournissant directement la formule de formation de ces coefficients au travers de l’équation différentielle. La seconde permet une plus grande liberté en ce qui concerne les séries produites puisque l’on a l’expression exacte de la série.

  • La méthode présentée maintenant donne une piste de démonstration pour chaque formule ci-dessus. Elle est issue de l’article [7].
    Cette méthode consiste à représenter la combinaison comme une intégrale, puis de sommer et donc d’obtenir une intégrale équivalente à la série, ce qui doit pouvoir se résoudre plus facilement. Explications !

    On considère tout d’abord la représentation intégrale de la fonction Bêta, qui fournit aux valeurs entières la formule

                   integral  1
(1-)= (mn + 1)   xpn(1- x)(m-p)ndx
mnpn            0
    (535)

    On somme ensuite sur n  pour obtenir la représentation équivalente de la somme sous forme intégrale

                 integral                 (            )
 oo  sum  -S(n)--    1 sum  oo             xp(1--x)m--p n
   (mn)an =  0    (mn + 1)S(n)       a         dx
n=0 pn         n=0
    (536)

    Le polynôme S  est la clé du problème. Si il est de degré d  , alors pour obtenir la somme de  sum o o  nkyn
  n=0  , on dérive successivement  sum o o  yn
  n=0  et l’on multiple à chaque fois par y  pour compenser le yn- 1  qui apparait avec la dérivation, ce qui permet d’obtenir

      oo  sum              n   --T(y)---
   (mn + 1)S(n)y =  (1 - y)d+2,
n=0
    (537)

    où le polynome T  est de degré d + 1  . En écrivant alors que

        xp(1- x)m-p
y = -----a------
    (538)

    on a finalement

     sum  oo  S(n)    integral  1       P(x)
   (mn-)n-=     -p------m--p----d+2-dx,
n=0  pn a     0  (x (1- x)    - a)
    (539)

    P(x)  est un polynome en x  de degré m(d + 1)  . Les racines du polynome xp(1- x)m-p -a  vont être fondamentales en ce qui concerne l’apparition des constantes. En effet, si (1 + x)  divise ce polynome, on aura du  integral 1-1 dx = ln(2)
 01+x  , après décomposition en éléments simples, qui apparaitra. Si      2
1 + x  divise  p      m-p
x (1 - x)   - a  , on aura du p  . Les auteurs ne semblent pas considérer de condition explicite sur les valeurs m  et p  pour voir apparaitre des constantes remarquables, ce que nous ferons, nous, pour les formules BBP factorielles !

12.5 Combinaisons rapides : Formules factorielles BBP

De la même manière que les 12.2, on peut trouver des formules factorielles ayant la forme de séries BBP. Elles sont tout aussi rapides ! On s’intéresse donc désormais aux séries de la forme  sum        vn ( sum         )
 o o n=0 (2-k1n)Cqnrn  pm-=11 pn1+m- , généralisation des séries BBP.

En voici un petit florilège, parmi lesquelles la démonstration de la formule de Guillera est fournie. On se rendra compte à cette occasion que la méthode ne diffère guère de la deuxième présentée pour les formules factorielles rapides non BBP.

Puis une méthode de démonstration plus générale inspirée des idées de [7] fera l’objet d’une section spéciale !

Notons que peut-être contrairement aux formules factorielles polynomiales, il est ici vraiment fondamental de trouver des séries que l’on appellera ”primitives” car on peut facilement voir qu’une formule en -1----1--
Cn2n2n + 1  fera éclore mécaniquement une formule en --1-( --a---  --b---  ---c--)
C2n4n  4n+ 1 + 4n + 2 + 4n + 3 par division de la somme en parties paires (2n  ) et parties impaires (2n+ 1  ) puis regroupement des termes.

A une formule Cn3n  est donc aussi associée une formule en C26nn  , etc... Mais il n’est pas sûr que j’ai toujours écrit ici uniquement des formules ”primitives” ! Pas grave, elles sont si belles :-) On est au moins certains que pour une somme            (           )
 sum o o -(-k 1n)vnqn  sum p -1-1--
  n=02  Crn   m=1 pn+m , si q  /\ r = 1  , on a une formule primitive...

Un exemple encore pour comprendre cette duperie dans le cas des formules BBP binomiales : pour accélérer artificiellement les séries, on peut réorganiser les termes de manière à obtenir par exemple  oo  sum         sum  oo   sum 6
   f (n) =     f (7 n+ j)
n=0      n=0j=0  mais cela se voit lorsque l’on factorise les entiers qui ont alors une facheuse tendance à être assez simples... L’exemple type, c’est ce que m’a fait remarquer Jesus Guillera. La formule

pict

qui semble très rapide, est essentiellement réductible à la formule  sum  oo       sum  oo    n (                       )
   f(n) =   (-1)-  ---2-- + --2---+ ---1--
n=0      n=0 22n   4 n+ 1   4n + 2  4 n+ 3 puisque cela revient à prendre  sum  oo   sum 6
      f (7n + j)
n=0j=0  pratiquement. On voit cela au fait que les coefficients entiers utilisés sont très simples (    2a j+b  principalement).

  • Avec Cn3n    :

  sum  oo      (              )
1   --1--- ---8--+  --2--- = p
3n=02nCn3n  3n + 1   3n+ 2
(Guillera)

          (               )
1  oo  sum  --1--- --7---  --2---
9    2nCn3n  3n+ 1 - 3n +2   = ln(2)
 n=0
(541)

1-  oo  sum  (-1)n-(--23--   --5--)
36   4nCn   3n + 1 + 3n+ 2  = ln(2)
  n=0    3n
(Guillera)

  • Avec   2n
C 4n    :

   sum  oo  (- 1)n2n( 1     2  )
-4    ---2n--  ---+ ------ = p
  n=1   C4n    2n   2n- 1
(Guillera)

   oo     n n (              )
1 sum  (-1)-2-  ---7---  --1--- = p
2n=0  C24nn    4n + 1   4n + 3
(Guillera)

 sum  oo -1-( --34--  --32--)   4  V~ -
   C2n   4n+ 1 + 4n+ 3   = 2p  3
n=0  4n
(542)

 sum  oo  1   ( - 5.32     3   )
   -n--2n  ------+ ------ = - 26ln(2)
n=04 C 4n   4n+ 1   4n+ 3
(543)

   oo      n(           )
- sum  -(--1)-  54-+ --72-- = pV ~ 3
 n=13nC2n4n  2n   2n- 1
(Guillera)

  • Avec C2n5n    :

 sum  oo    n (                                )
   (-1)-- --416- + ---44-+ --16-- + ---14--  = 125p
n=02nC25nn  5 n+ 1   5n + 2  5 n+ 3   5n + 4
(Guillera)

         (                                )
 sum  oo  (-1)n--339-   -154--  --54--   --14--
   2nC25nn  5 n+ 1 + 5n + 2 + 5 n+ 3 + 5n + 4 = 625 ln2
n=0
(Guillera)

  • Avec C2n
  7n    :

Tout comme la formule de Bellard, on trouve pour les C2n
 7n  tout plein de sommes très intéressantes

 sum  oo  (- 1)n( 3342    2248    480      117     297 )        V~ -
    -C2n-  7n+-1-- 7n-+2-- 7n-+-3- 7n-+-4-  7n-+-5- = 343p  3
n=0   7n
(544)

 sum  oo    n (                                                )
   -(--1)-  386252- 135507 + 21244-+ -8112-- -7029-+ -2484-  = 470596ln(2)
n=04nC2n7n  7n +1    7n + 2   7n+ 3   7n +4   7n + 5  7n + 6
(545)

  oo        (                                               )
 sum   --1--- -59296-  -10326   3200--  -1352--  -792--  -552--
    2nC27nn  7n + 1- 7n + 2-  7n+ 3 - 7n+ 4 - 7n+ 5 + 7n + 6  = 16807p
n=0
(546)

 sum  oo   1   ( 47272    74376    8924    3718     5445     552  )
    2nC2n- 7n-+-1 + 7n-+-2- 7n-+-3-+ 7n+-4-- 7n+-5-- 7n-+6-  = 117649 ln(2)
n=0    7n
(547)

 oo  sum         (                                                )
   ---1--- 1147198 + 299568+ -34772-- -9867--  6633--- -1656-- = 1882384ln(2)
n=025nC27nn   7n+ 1    7n+ 2   7n + 3  7n + 4   7n+ 5   7n+ 6
(548)

On obtient également comme souvent des représentations de 0, uniquement pour les combinaisons qui donnent lieu par ailleurs à des valeurs de constantes remarquables (p  et ln(2)  ).

  oo       (                                               )
 sum  (--1)n   52229-  90984-  11996-  -5577-  -8811-  --828-
    C2n7n    7n+ 1 - 7n+ 2 - 7n+ 3 - 7n + 4- 7n + 5 + 7n + 6 = 0
n=0
(549)

En cherchant du côté des puissances de 3, on trouve également notre bonheur

 sum  oo  (- 1)n (116793   53244    3876    1521     3267     828  )         V~ -
   3nC2n-  7n-+1-- 7n-+-2 + 7n-+-3-- 7n+-4-+ 7n+-5-- 7n-+6-  = 16807p  3
n=1    7n
(550)

mais à vrai dire, c’est bien tout !

  • Avec   3n
C 7n

  oo  sum  --1---(1747810   185625  -98650-   31200-  5720--  -4675-)
   8nC3n   7n +1  - 7n +2 - 7n + 3 + 7n + 4 + 7n+ 5 - 7n+ 6  + 1630279 = 2352980ln(2)
n=1    7n
(551)

On ne connait pas de formule pour p  ...

  • Avec   2n
C 8n    :

 sum  oo   1  (  881485   371072   97275   16709    9856     3315 )
    n--2n- ------- + ------- ------+  ------- ------+ ------ = - 220ln(2)
n=0 4C 8n    8n+ 1   8n + 2  8n + 3   8n+ 5   8n+ 6   8n+ 7
(552)

  oo        (                                                  )
 sum  ---1---  9975455+ 2965376 + 550905-- -47047-- -20608--  4641-- = 224ln(2)
n=064nC2n8n   8n + 1    8n+ 2    8n+ 3   8n + 5  8n + 6   8n + 7
(553)

A noter que l’on ne peut apparemment pas trouver là non plus de formule similaire pour p,pV ~ 2,p V~ 3,pV ~ 5,p V~ 6  , ce qui semble plutôt étonnant ! D’autre part, la répartition des signes des membres de la parenthèse ne semble rien avoir d’aléatoire... Serait-ce donc une formule primitive ? ?

  • Avec C4n8n    :

    sum  oo -(--1)k(64-  -39---  --42--  --60--)
- 8   4nC4n   4n + 4n- 1 + 4n- 2 + 4n -3   = p
   n=1    8n
(Guillera)

Jesús Guillera a fourni cette jolie et très simple formule en novembre 2001 mais elle n’est pas vraiment une formule primaire mais est plutôt issue d’une formule en   n
C 2n  .

  • Avec   2n
C 11n    :

         (     8764354488   -1493114756   -2349941760   )
  oo             -11n-+-1--+ --11n-+-2---+ --11n+-3----
 sum  --1---       + 519883000+ 138758080 + 72870896-+       = 2357947691p
n=02nC21n1n          11n +4     11n + 5    11n + 6
            73886592 + -91670800+  -15892240+ 15259166
             11n+ 7     11n +8      11n+ 9     11n + 10
(Guillera)

  • Avec C4n12n    :

Les formules qui suivent ne sont probablement plus des formules primitives mais bon.... c’est tout de même joli :-)

           (                        )
 oo  sum                1311520n+4190-+ 314279n1+429
   --n1-4n-    +40125n84+04 + 11502n2+957+ 21220n11+7    = 314p
n=016 C12n   + 1852n8+08-+ 1123n09+10-+ 142n9+411-
(554)

Vous aurez remarqué que 314p  , ça c’est vraiment joli !

 sum  oo        (     9111209n5+110- 2411024n+8297-    )
   ---1-4n   + 281211n8+545- 10124n17+256+ 11522n59+27   = 23315ln(2)
n=016nC 12n    --59865+  -9163-- --3952-
               12n+8   12n+10  12n+11
(555)

            (                           )
 sum  oo               2311420n45+8120- 4815291n8+7273
   ---n1-4n   + 351712n1+0425-+ 104192n8+6556-- 91692n5+470   = -28315ln(2)
n=0256 C 12n    - 310204n9+58 + 1320n10+710 + 1928n8+011
(556)

la vitesse est de                (      )
256nC4n   ~   a 2561212-n  ~~  5314300n
     12n n--> oo       4488

  • Avec C8n
  24n    :

 sum  oo   P(n)
    256nC8n-+ 249571370427585429609 = 243305.7.13.53p
n=0      24n
(557)

         1806413025061839495168   218419888968315575695  57786660321980351944
       -    6741325446n73325629700+  24969542542n6+8117163140 +366197104243n86+9203405
          +   14312234n5+54387552768+0  22416244n41+9551770020 + 8952639234n0+49755710-
P(n) =      +   1442646n82+9832173570+  5845274n05+4140103700- +9624924471n4+0153160
              +   329241n3+60103445635+ 6594294n1+213544940  +275042564n7+9137600
                + ---24n+1757155+645674244n+13981351+20502254n+20--
                        +--24n+22--+ --24n+23--

 sum  oo --P-(n)----                            14 31
   65 536nC8n24n + 137241086910742281289392 = 2 3 5.7.13.43ln(2)
n=0
(558)

       - 355863365937214n82380548096+ 124730316421647n+210676678485+ 26191725202422n8+82686956188
          - 19248505621494n0+5449790400-  5658706026148n0+6659307245+ 522798918244n2+5876025310
             +16217632046764162560- 1600130400592066420-  507218088018305300-
P(n) =         + 5163214n6+268496164715 + 1655820749n+81280767400- 17164642464n7+01111840
                  - 55244n4+5216390038555-+ 5821246n12+118407480+ 189347244n57+3176600
                       24n+1-7192082308891242n-+1951971757145024n+20
                              24n+22       24n+23

On peut même trouver une fonction P(n)  du même type avec  sum o o  -P-(n)--
  n=0 224nC82n4n = 0  , ce qui représente bien la manière la plus rapide depuis longtemps de calculer 0 ! !

  • Avec C164n8n    :

               ( 6355284697691500746427743822689241562572914688  1247765746954168283601712063903296488776216424 )
                   33011744322082215394870n82504638950531572299094+0  38511288486239761948811n5+01768160497305977517600
                  + 14264333966331821549482n5+02092119575576663395250+ 20919712264130242154338n1+3464843587638893080328
                  + ---------------48n+5---------------+ --------------48n+7--------------
                   + 81762055362572179784568n1+684803581674796560400 + 12805790943577678046884n7+8313060036565557507280
                     +5114334327206169964989n64+712159862867874359910+ 826411873463214358418n21+410393110653412727480
                     + 333913091163753891489n74+413440118030547637500+ 549483732443874324084n52+31762928680293835488
                      + 2236393234029626341842n0+51717563617661168900+ 372441164571775004687n78+9109231109083404100
                       + 152338243904226845845n1+42480313872086330000+ 25584803104931302486n2+29292892511257703944
 sum o o n=0 655316nC16n        +10502716832369394288n5+42573463216001826900+ 17750057985560144285n9+9623572596951740300
            48n           + 73065196804183540881n7+822368694863915944-+ 1240837130711064484n1+7229896329332538000
                          + 5118716098513968968017041993051100+ 872653523109331662374029939407900
                           +36061373153746381n+42289800678743296288+ 61672251805694781n09+03216759767867500
                           + 2552183444148085n5+5639227924504332680+ 4376247736732488n1+333148303949011210
                            + 181325034634488n8+6834597161611745680+ 3116954747941781n3+18307304376640400
                               129348550894982n59+03487902628326328  2239327478249487n5+4740895445517950
                             +  93992848404488n8+06431186608045600-+ 184522963090488n9+5942377437828140-
                              +         48n+441078185110096+82190614859364248n+46
                                          +         48n+47

   63                     1266 2
+3  7.74606281.2385 191 = 2  3 5 7.13.29.31.1753p

Si c’est pas beau, cela.... admirez la décroissance parfaitement régulière des coefficients entiers....

En ce qui concerne la vitesse, on a                   (        48 )n
65536nC1648nn   ~  a  655361468163232
           n-->o o    : 1.21  1018n  soit donc 18 décimales nouvelles par itération, sympa ! Mais évidemment, plus de termes sont à calculer donc l’un dans l’autre...

12.6 Alors, que dire de tout cela ?

Cette fois encore, quelques remarques :

  • Les gros coefficients devant les constantes se factorisent en produit de nombres premiers assez simples en général, mais cela n’apporte guère d’information structurelle sur la série...
  • Les coefficients entiers sur les --1-
an+b  se factorisent mais pas toujours avec des puissances de 2 par exemple. Cela hélas n’apporte pas vraiment d’indication quant au fait que la série découle ou non d’un découpage facile d’une série d’un ordre inférieur.
  • Un des inconvénients de ces formules est de devoir utiliser 3a  termes en -1--
an+b  lorsque l’on a affaire à un coefficient     -1an-
    C3an  dans la série. Pour les séries polynomiales, on avait plutôt a  termes dans ce cas...
  • Et les ordres supérieurs ? C’est-à-dire les constantes G  , z(3)  etc... ? les séries du genre [lien vers ma formule cube] utilisent des coefficients binomiaux centraux, mais avec d’autres coefficients binomiaux ? eh bien bizarrement on ne trouve pas vraiment de formule BBP au sens habituel, avec plein de termes ---1--
(an+b)k  . Pas d’explications à ce phénomène si ce n’est la complexité des intégrales mises en jeu, qui ne donne pas de constante remarquable, mais ce n’est pas très satisfaisant... Il faudrait étudier en détail les diviseurs des polynômes au dénominateur des formules. Quelques éléments tout de même un peu plus bas.
  • On peut se demander à la vue des séries un peu équivalentes polynomiales et BBP (on en trouve pour les mêmes valeurs m  des coefficients   pn
C mn  ) si il existe des formules ”canoniques”, des formules de bases, les plus simples possibles au sens de l’écriture factorielle. En effet, on pourra remarquer que les séries BBP se mettent sous la forme polynomiale si on le veut bien
           sum  oo  (- 1)n (64   39      42       60 )         oo  sum  (-1)n(4n- 1)!(4n -4)!
p = -8   -n--4n-  --+  ------+ ------+ ------ = - 64   ------n-------------P(n)
      n=14 C 8n   4n   4n- 1   4n- 2   4n- 3        n=1     4 (8n- 1)!


    avec            3      2
P (n) = 820n - 927n +296n - 24  . Mais bien sûr, on voit là que l’on ne peut plus mettre les factorielles sous la forme d’une combinaison. Ce n’est pas purement notationnel, les combinaisons ont un vrai sens et une cohérence dans le développement en série entière comme le montre la formule du binome de Newton.
    En fait, les représentations intégrales montrent que souvent la forme BBP est plus naturelle et simple que la forme polynômiale, mais ce n’est qu’une remarque intuitive, il manque encore une clarification de l’évaluation de la complexité d’une de ces séries par rapport aux autres.

12.7 Démonstration typique

Jesús Guillera et moi-même proposons ici une méthode de démonstration de ces formules (ne comportant pas de terme ---1-- -1-
qnCpnmn mn ), destinée à montrer l’existence d’une preuve de ce type pour chaque formule, suivie d’une application à la première formule de la section. Cette méthode est inspirée de celle de [7], en tentant d’aller un tout petit peu plus loin dans le détail...

12.7.1 La méthode

La série se présente sous la forme

     sum  oo -1---( --b1---  --b2---      ---bm--1---)
T =    qnCpmnn   mn + 1 + mn + 2 + ...+ mn + (m - 1)
    n=0
(559)

Chouette...

On utilise la représentation intégrale d’une fonction Beta pour obtenir directement que

 1             integral  1                            integral  1
-pn-= (mn + 1)   xpn(1- x)(m-p)ndx = (mn  + 1)    x(m -p)n(1- x)pndx
Cmn            0                              0
(560)

ce qui nous fournit la somme

pict

dont on peut se sortir par une décomposition du dénominateur en éléments simples (attention, je n’ai pas dit que c’était facile ! :-) ).

Bien, mais que fait-on pour les   1     1
-n-pn--------
q Cmn mn + k  , k > 1   ? ?

Pour un k  fixé, la décomposition en éléments simples de (pn+1)(pn+2)...(pn+k-1)
(mn+1)(mn+2)...(mn+k)  vu comme une fraction rationnelle en n donne une séquence (ak,j)j=1,..,k  telle que

                               (                             )
 integral  1 k-1 pn     (m -p)n     --1--  -ak,1--- --ak,2--      --ak,k--
 0 x   x  (1- x)      dx = (mn ) mn + 1 + mn + 2 + ...+ mn +k
                            pn
(562)

avec a     (-  Q
 k,j  . Pour toutes les valeurs k  de 1  à m - 1  , on dispose donc de séquences (a  )
  k,j j=1,..,k  que l’on peut combiner linéairement pour former les coefficients b
 k  de la somme T  . C’est équivalent à écrire et résoudre le système

( a1,1  a2,1  ...  am-1,1 )      (   b1  )
   0   a2,2  ...  am-1,2            b2
   ...   0   ...    ...    .B =     ...
   0    0   ...  am-1,k           bm -1
(563)

Le vecteur B contient les coefficients de la combinaison linéaire des intégrales contenant xk- 1  , ce qui fournit le polynôme            (   1   )
         t     X
P (X) = B  .    ...
             Xm -2 de degré m  -2  tel que

pict

Voilà, ce n’est pas plus difficile que cela !

On peut aussi, dans un souci de construction des formules et non plus de preuve, choisir un polynome P (x)  qui simplifie volontairement certains diviseurs au dénominateur de l’intégrale équivalente. On se retrouve alors dans une situation dont on parle plus longuement 12.7.4.

12.7.2 Application : La démo de la première formule

On reprend la première formule Guillera

  sum  oo      (              )
1   --1--- ---8--+  --2--- = p
3n=02nCn3n  3n + 1   3n+ 2
(565)

On utilise la formule intégrale

             integral 
--1----1--=   1x2n(1- x)ndx
3n+ 1 Cn3n    0
(566)

qui se montre par récurrence par exemple pour les puristes ! On en déduit que

pict

Pour  1    1
Cn--3n+-2-
 3n  , c’est un peu plus compliqué, mais on peut s’en sortir quand même en suivant la méthode de la section ci-dessus, à savoir que

                     integral  1
---(2n+-1)-----1n-=    x2n+1(1 - x)ndx
(3n + 1)(3n + 2)C3n    0
(568)

On a

pict

donc

  1    1      integral  1                  1    1
-------n--= 3  x2n+1(1- x)ndx - --------n--
3n+ 2 C3n     0                 (3n + 1)C3n
(571)

ce qui est équivalent à considérer que le fameux polynôme à chercher est P (x) = 3x- 1  car on a

--1---1--   integral  1       2n      n
3n + 2Cn3n =  0 (3x- 1)x  (1 - x) dx
(572)

comme le polynôme est simple, on a pu le déterminer explicitement, mais ce ne sera pas toujours le cas (voir démo plus bas).

Le calcul est maintenant direct

pict

donc finalement en reprenant la méthode de la 6.2de Gery Huvent , on a

 sum  oo   1  (   a       b   )   (3    12 )        (1     7  )
   -n--n-  ------+ ------ =   -a - --b  ln(2)+  - a+ -- b p
n=02 C 3n  3n+ 1   3n+ 2      5     5           5    10
(574)

  On choisit maintenant a = 4b = 4  pour annuler la participation de notre cher ln(2)  et obtenir Guillera. On peut également prendre a = - 72b = - 7  pour obtenir 541.

12.7.3 Démo de la formule en C27nn

Jesus Guillera et moi-même proposons maintenant une preuve rapide d’une des plus belles formules du lot, à savoir 546.

On rappelle que le principe consiste à chercher le polynôme Pk(x)   tel que

--1----1--   integral  1     5n      2n
7n+ k C27nn =  0 Pk(x) x (1 -x) dx

Bien que la solution, pour chaque k, ne soit pas unique, on sait que le degré de Pk(x)   est k - 1  . Par la méthode du système linéaire, on obtient

|------|----------------------------------------------|
|k-----|--------------------Pk(x)---------------------|
|k-=-1-|----------------------1-----------------------|
|k = 2 |                    7x- 2                     |
|------|----------------49--3---3--1------------------|
|k = 3 |                -- x2- 7x- -                  |
|------|------------343-34-294-2---414----2------------|
|k-=-4-|------------13-x-+--13 x---13x---13-----------|
|k = 5 |      - 2401x4 + 2744x3 - 49x2- 56x- 1        |
|------|---------99------99------11-----99---9--------|
|k = 6 |- 16807x5 + 12005x4 - 1715x3- 245x2 - 35x- 2- |
|------|---276------138-------69-----138-----92----23-

Maintenant, on déroule....

 sum  oo       sum 6         integral  1 sum 6      sum  oo                integral  1    sum  oo  5n     2n
   -n1-n-   -ak---=      akPk(x)   x5n(1- x)2n dx =   P (x)   x--(1-nx)--dx =
n=02 C 2n k=1 7n+ k    0 k=1       n=0                0     n=0     2

 integral  1   --------2------
 0 P(x)x7 -2x6 + x5- 2dx

Avec les ak  de la formule 546, on a         sum 6
P (x) =    akPk(x) = 4- 4x2 + 4x4 - 2x5
       k=1

et

 integral  1                          integral  1     2    4    5       integral  1
   Q(x)-7-----6-2--5---dx = -2   4--7-4x-+64x--5-2x- dx = 4  ---1-2 dx = p
 0     x - 2x  + x - 2        0  x  - 2x + x - 2        0 1 + x
(575)

Incroyable, non ? ? Que cette si grosse somme soit en fait équivalente à une intégrale aussi simple, c’est assez génial !

12.7.4 Prédiction des formules

A la vue de la démonstration, on peut se demander si il existe un moyen de prévoir pour quelles combinaisons il existe une formule. Je n’ai pour l’instant pas de réponse exhaustive, mais une condition suffisante est déjà assez simple à exhiber.

On a vu en effet avec la formule en C12n7n-  que l’intégrale était équivalente à  integral  1  1
   -----2dx
 0 1 + x  . Cela provient du fait que 1 + x2  divise x7- 2x6 + x5 - 2  et le polynôme au numérateur (donc les coefficients) sert donc uniquement à simplifier l’autre facteur. Or pour les formules non alternées, le polynôme du dénominateur est engendré par q- x(m-p)(1 - x)p  que l’on appellera un polynome générateur. A partir de là, une condition suffisante d’existence d’une formule pour p  est que

1+ X2 || K(X) = q- X(m -p)(1 - X)p
      |

Donc il faut que i  et - i  soient racines de K  . En particulier, on a pour p = 2  , q = 3  ,       2        2
i(1- i) = i(1 + i) = 2  . Ceci prouve l’existence d’une formule en  2n
C3n  pour q = 2  . Mais comme i  et -i  sont racines 4-ième de 1  , on peut multiplier        2
x(1- x)  par  4k
x  sans changer l’existence des racines i  et -i  . Ceci prouve alors l’existence d’une formule en   2n
C (3+4k)n  .

Tentons de préciser la condition suffisante :

{i et - i sont racines de K, p < m}   {       (m-p)                }
<==>  q - ( i)    (1 i)p = 0,p < m

<==>  {(1  i)p = (- 1)m+pq( i)m,p < m}

<==>  {(1 + i)p = (- 1)m+pqim, p < m} par conjugaison

   {                                       }
<==>   ( V~ 2)p = q et pp  =_  (m + p)p+ m p [2p],p < m
                4               2 par passage en module et argument

   { p                       }   {        k                       }
<==>   22 = q, p < m et - p  =_  2m [8] <==> p = 2k, 2 = q, p < m et 7p  =_  2m[8]

Les choses sont claires. Pour que l’on puisse obtenir une formule BBP factorielle non alternée grâce à l’intégrale  integral  1
    --1--dx
 0  1+ x2  , il faut et il suffit que q  soit une puissance de 2  , p  pair plus petit que m  et surtout la superbe relation de congruence 7p  =_  2m [8]  . On vérifiera aisément que les conditions p = 2,q = 2,m = (3+ 4k)  vérifient ces conditions. On trouve aussi que la condition est vérifiée pour p = 4,q = 4,m = 6+ 4k  , formules que j’avais manqué dans mes expérimentations ! Comme quoi, parfois la théorie va plus vite que la pratique... :-)

En appliquant la même méthode aux séries alternées, aux racines -1  (qui permettent de trouver du ln(2)  grâce à  integral 
  1 -1--dx
 0  1+ x  ), au polynôme  2
x - x + 1  (pour trouver du          integral 
  V~ -   9  1----1----
p  3 = 2 0 1- x + x2dx  ), on trouve les conditions suivantes, et donc les formules suivantes :

Pour les séries non alternées   oo        (                                  )
 sum  ---1--  --a1---+ --a2---+ ...+ -----a2-----
n=0qnCpnmn  mn + 1   mn + 2       mn + (m - 1) =  integral 1----qP(x)----dx
   0 q- x(m-p)(1-x)p






Pôle ConstanteCondition avec racines Condition d’existence du pôle p < m  Type de formule existante





1+ x2  p    (m -p)
(i)     (1 - i)p = q  p = 2k, 2k = q,7p  =_  2m [8]    oo  sum      1       sum  oo    1        sum  oo    1
    2nC2n----...,   4nC4n-----...,   8nC6n-----
n=0    (3+4k)n  n=0    (6+4k)n   n=0    (9+4k)n





1+ x  ln(2)      m-p p
(- 1)   2 = q                 p
m = p+ 2k, q = 2  Un paquet vu la relation !





1- x + x2  p V~ 3       (    V~ -)p+m
(- 1)p 1+i-3     = q
        2  q = 1, m = 2p+ 6k    oo  sum        sum   oo       sum   oo 
    -1-...,  --1-...,   -1-...
n=0 Cn2n  n=0C2n4n  n=0 Cn8n





2+ x    (3)
ln 2     (m- p)   p
(- 2)    (3) = q                 2k p
m = p+ 2k, q = 2 3    oo  sum  --1----  sum  oo --1---   sum  oo --1---
    12nCn3n...,   48nCn5n ...,   36nC2n4n ...
n=0         n=0         n=0





z- 1 + x    (z+1)
ln  z      (m-p)   p
(1 - z)    (z) = q                      2kp
m = p+ 2k, q = (1- z) z  ...





1+ (z- 1)x  ln(z)  (    )(m -p)(       )p
 -z1-1        1+ z1-1   = q                    p
m = p+ 2k, q = (z-z1)p+2k  ...






Il faut noter que lorsque l’on a besoin qu’une polynome ayant des racines complexes divise notre polynome générateur, on a besoin seulement que l’une des racines complexes soit racine de ce polynome, par conjugaison (à cause du fait que le polynome générateur est réel). Ce tableau indique par exemple pourquoi l’on trouve si souvent de formules pour ln(2)  mais pas toujours pour p  . Bien que l’on ait affaire ici à une condition suffisante et pas nécessaire, les conditions sur les logarithmes montrent qu’il est probable que l’on ne puisse pas obtenir d’autres logarithmes entiers que ln(2)  avec des puissances q  entières.

Pour les séries alternées  oo  sum      n (                                  )
   (-n1)pn-  --a1--+ ---a2--+ ...+ -----a2-----
n=0q Cmn   mn + 1  mn  + 2      mn + (m - 1)    integral 
=  01q+x(mq-P(xp))(1-x)pdx






Pôle ConstanteCondition avec racines Condition d’existence du pôle p < m  Type de formule existante





    2
1+ x  p    (m -p)     p
(i)     (1 - i)  = -q          k
p = 2k, 2 = q,7p  =_  2m + 4[8]    oo  sum  --(--1)n---  sum  oo -(--1)n---   sum  oo ---1-----
    2nC2n    ...,   4nC4n     ...,   8nC6n
n=0    (5+4k)n  n=0    (8+4k)n   n=0    (7+4k)n





1+ x  ln(2)  (- 1)m-p+12p = q  m = p+ 2k + 1, q = 2p  Un paquet vu la relation !





1- x + x2    V~ -
p  3         (   V~ -)p+m
(- 1)p+1  1+i2-3     = q  q = 1, m = 2p+ 3+ 6k    oo  sum     n    sum  oo    n
    (--1n)-...,   (-1n)-...
n=0 C 5n   n=0 C11n





2+ x    (3)
ln 2     (m- p)   p
(- 2)    (3) = - q                    2k p
m = p+ 2k + 1, q = 2 3    oo            oo            oo 
  sum  (-1)n--  sum  -(-1)n-   sum  -(-1)n-
    12nCn4n...,   48nCn6n ...,   36nC2n5n ...
n=0         n=0         n=0





z- 1 + x  ln(z+1)
    z (1 - z)(m-p)(z)p = - q  m = p+ 2k + 1, q = (1- z)2kzp  ...





1+ (z- 1)x  ln(z)  (    )(m -p)(       )p
 -z1-1        1+ z1-1   = q                       p
m = p+ 2k + 1, q = (z-z1)p+2k  ...







12.8 Produit de combinaisons

Une très intéressante question concerne la possible présence de plusieurs combinaisons dans une série donnant p  . Je dois vous avouer que je pensais cela peu probable, jusqu’à la découverte de la formule suivante en décembre 2001, due à Jesús Guillera

 sum  oo          3n  (                               )
   (-1)n2n--C6n--  -1885--+ --965-+ -363--+ ---51-  = 29p
n=0       C4n8nCn4n  8n+ 1   8n+ 3   8n + 5  8n + 7
(Guillera)

La même avec des factorielles

  oo                   (                               )
 sum      n n(6n)!(4n)!n!  1885--  --965-  -363--  --51--     9
   (- 1) 2  (3n)!(8n)!   8n + 1 + 8n+ 3 + 8n+ 5 + 8n +7   = 2p
n=0
(Guillera)

On a aussi

 sum  oo        C3n    ( 11855   2295     297      17  )       V~ -
   (-1)n33nC64nnCn--  8n-+-1-- 8n+-3-+ 8n+-5-- 8n-+7-  = 211p  3
n=0         8n  4n
(Gourevitch)

soit

 sum  oo                 (                               )       V~ -
   (-1)n-(6n)!(4n)!n!  -11855-  2295--+ -297--- --17-- = 211p  3
n=0     33n(3n)!(8n)! 8n + 1   8n+ 3   8n+ 5   8n+ 7
(Gourevitch)

Alors, d’où cela vient-il ? Eh bien au lieu de partir de puissances entières dans l’intégrale, on passe par des puissances rationnelles et en particulier des racines carrées. En effet, en considérant l’intégrale

 integral 
  1bnxkn-12(1- x)jndx
 0
(576)

on obtient des sommes de la forme

 sum  oo    n(2kn)!(jn+-kn)!(jn)!
   (-1)  an(2jn + 2kn)!(kn)!
n=0
(577)

soit par example pour k = 3  et j = 1

 sum  oo 
   (-1)n(6n)!(4n)!(n)!
n=0      an(8n)!(3n)!
(578)

ou encore pour k = 3  et j = 2

 oo  sum     n (6n)!(5n)!(2n)!
   (- 1) an(10n)!(3n)!
n=0
(579)

Les sommes BBP se déduisent alors après intégration pour donner des formules du type

 sum  oo     (6n)!(4n)!(n)!(   b       b       b       b   )
   (- 1)n--n---------  ---1--+ ---3--+ ---5--+  --7---
n=0      a (8n)!(3n)!  8n +1   8n + 3  8n + 5   8n + 7
(580)

  oo  sum                   (                                            )
   (- 1)n (6n)!(5n)!(2n)!- --b1---+ --b3---+ ---b5---+ ---b7--+ ---b9--
n=0      an(10n)!(3n)!  10n +1   10n + 3  10n + 5  10n + 7  10n + 9
(581)

Pour la première formule Guillera, on considère par exemple l’esquisse de preuve suivante

Preuve.  integral  1 V~ -( 2         2-) sum  oo  (--1)nx3n(1--x)n     sum  oo  (-1)n integral  1 V~ -( 2        2)  3n     n
 0  x  x  -2x + 2- x            2n      dx =      2n  0   x  x - 2x+ 2 - x  x  (1 - x)dx
                      n=0                    n=0

et l’on utilise ensuite les valeurs connues de  (    1)
G n + 2 .  _

Un autre exemple comprend

pict

K(k1)  est la fonction elliptique de première espèce en la première valeur singulière, célèbre contante de la théorie elliptique !

Il est obtenu à partir de

 integral                      (    )  (     )     ( )2
  1 n-14      n- 12    G--n+-34--G-n-+-12-   4G-34--(--1)n -----------(4n)!-----------
 0 x   (1- x)    dx =    G(2n + 54)    =    V~ 2p   8n  (8n + 1)n!(4n - 3)!!!!(8n - 3)!!!!
(583)

et

 integral  1  3         1    G(n + 7)G(n  + 1)   4G(3)2(- 1)n            (4n)!
   xn+4(1- x)n- 2dx =------4(----9)--2-=  - V~ -4---8n- (8n-+-5)n!(4n---3)!!!!(8n---3)!!!!
 0                       G 2n + 4          2p
(584)

et l’intégrale

 integral  1       oo  sum      n
   (x- 2)   (-1)-xn-14(1 -x)n- 12dx = - p
 0       n=0 2n
(585)

Tout ceci ouvre des perspectives très intéressantes !

Notez également que la forme BBP est une forme très générale des séires dans la mesure où même les formules du genre de celles de Ramanujan peuvent se mettre sous la forme BBP, comme

-1- sum  oo  (3n)!(2n)!4n-( -2448 -644--  -3552-)   1-
125    (n!)563n27n   2n- 1 + 3n- 1 + 3n- 2  =  p
   n=0
(586)

Par contre, hélas, nous n’avons pas encore trouvé de méthode pour prouver ces formules avec la méthode Bêta...

Beaucoup plus de détails et quelques autres formules sont donnés dans l’article [13], disponible prochainement j’espère !


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