www.pi314.net


Histoire
Mathématiciens
Toutes les formules
Approx. numériques
Programmes
Algos perso/divers
Décimales
Poèmes
Articles/vidéos
Délires !
 Pi-Day
Images/Fonds
Musique
Liens sur Pi
Bibliographie



Boris Gourévitch
L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013



Pi-Day dans
Pi Day Countdown
Google
Accueil Historique/Actu (Pi, site, moi) Edito Livre d'or Pages en .pdf Je me présente Quelques photos Remerciements Page des nets d'or Sites qui m'indexent Derniers changements Contact

Cette page en français This page in English


10 Introduction de factorielles et combinaisons

Ce qui est très intéressant, c’est que l’on pourra toujours observer le même type de constantes malgré l’introduction d’une combinaison ou de factorielles équivalentes (à condition de rester dans une s+1Fs  ), c’est pourquoi p2  et les logarithmes vont représenter l’essentiel des résultats fournis par des hypergéométriques simples. Par contre, dès que l’on introduira une combinaison au carré par exemple, on obtiendra des types différents, des rapports de fonction gamma le plus souvent (et donc aussi p2   ! mais de manière moins évidente).

10.1 Un premier exemple

L’introduction des combinaisons est justifiée par plusieurs séries très similaires avec ou sans présence de combinaisons. Par exemple,

  2    sum  oo  1      oo  sum    1
p  = 6    n2 = 18   n2Cn--
      n=1        n=1   2n
(Euler)

        oo  sum            sum  oo 
p4 = 90   -14 = 3240    -41n--
       n=1n     17 n=1 n C2n
(Comtet 1974)

       oo  sum  (--1)n-     oo  sum  ---Cn2n---
p = 4   2n + 1 = 2   4n(2n+ 1)
     n=0          n=0
(362)

Ce qui signifie en fait que dès que l’on trouve un résultat de cette fonction , on a de petits espoirs de trouver le même type de résultats avec une combinaison de type coefficient binomial central par exemple. Ceci est simplement dû à la forme assez proche des fonctions génératrices de ces séries (1211).

10.2 Umbral calculus

On peut établir un lien entre les séries avec combinaisons (k = 1  plus précisément) et les séries sans combinaisons (k = 0  ) au moyen de l’accélération de la convergence par la méthode d’Euler. Celle-ci est un cas particulier de la formule des ”finite differences” qui est la version discrète du développement de Taylor (                  '
f(x+ h) = f(x)+ hf1(x!)+ h2f”(2!x)+ h3f(3)3!(x)+ ...  ). C’est la théorie connue sous le nom de ”Umbral calculus”, dont l’origine remonte à Sylvester (1814-1897). La méthode d’accélération d’Euler consiste à remplacer la somme d’une série par la somme de différences de termes de la série.

Plus précisément, on choisit une série alternée  sum o o k=0(-1)kak  et l’on calcule la différence finie d’ordre k  pour a0   :

  k      sum k    m  m
D  a0 =    (- 1) Ck ak-m
       m=0
(363)

alors

 oo  sum            oo  sum      k k
  (- 1)kak =    (-1)-D-a0-
k=0          k=0    2k+1
(364)

Le truc, c’est que le terme Dka0  va parfois s’écrire comme des combinaisons ou rapports de factorielles et autres symboles de Pochammer ! Application :

On sait que 2Y (- 1,1, 1)= 4 sum o o  (-1)k= p
         2       k=0 2k+1  . On a donc ak = -1--
     2k+1  .

Dka
    0  étant assez délicat à calculer directement, on pose la fonction

           sum k         x2(k-m)+1
Dka0(x) =    (- 1)mCmk -----------
         m=0         2(k- m) + 1
(365)

On en cherche la valeur en 1  bien sûr. Et l’on calcule !

pict

B(x,y) = GG(x()x+Gy(y))  est la fonction Bêta complète qui vaut dans ce cas de valeurs de k > 0  entières B (1,k +1)=  --k!--= 22k+2((k+1)!)2= --22k+2--
   2         (12)k+1    (k+1)(2k+2)!   (k+1)Ck2+k1+2   (tiens, tiens...).

D’où on obtient

pict

et donc d’après la formule 364

pict

Hélas, je n’ai pas trouvé comment généraliser la méthode... Cependant, on a tout de même la formule plus générale

 oo  sum   (- 1)k    1  sum  oo   (k!)
   --------= -    ---(--)-
k=0(q.k + r)  q k=1k2k  rq k
(369)

et même

 oo  sum   (- 1)ixqi    r-1 sum  oo  (- 1)i (r        xqi  )
   qi(q.i+-r) = qq     2i+1-B  q,i+ 1,q--xqi
i=0                 i=0
(370)

où B est une Bêta incomplète, si je ne me trompe pas...

De même, en utilisant le lien entre bêta incomplètes et hypergéométriques

pict

 F
2 1  est la fonction hypergéométrique.

Bref, l’introduction de factorielles peut se révéler intéressante franchement intéressante...


Retour à la page d'accueil