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L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013



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3 La fonction Psi : Base des formules type Machin ou BBP

3.1 Définition

On veut pouvoir combiner au sein d’une série p+1Fp  les combinaisons et les termes (an+ b) = a (n + b)
               a . On introduit pour cela la fonction Psi, ou transcendante de Lerch, qui s’écrit

           sum  oo   xn
Y(x,s,v) =   (n-+v)s
          n=0
(16)

pour v  (-  R,s  (-  N  . Le rayon de convergence est 1  . On peut écrire cette fonction sous la forme d’une série hypergéométrique assez simple :

               (        s fois          )
                      v,v,...,v,1
Y(x,s,v) =s+1 Fs  v+ 1,v+ 1,...,v + 1 ,x
                   ------- -------
                        s fois
(17)


Cette fonction a l’avantage de regrouper une bonne partie des fonctions classiques de l’analyse, et qui ne demandent que cela tant les relations entre elles sont nombreuses !

Ainsi, on a

pict

z(s,v) =  sum o o --1--
         n=0 (n+v)s  est la fonction Zêta de Hurwitz, y  (v) = (-1)m+1(m!)z(m + 1,v)
 m  est la fonction PolyGamma et         '
Y(v) = GG((vv))  est la fonction Digamma.

z(s) =  sum o o  1
        n=1 ns  est la fameuse fonction Zêta, L (x) =  sum o o  xn
 s       n=1 ns  est le polylogarithme d’ordre s, b(s) =  sum o o -(-1)n
        n=0(2n+1)s  est la fonction Bêta de Dirichlet, et enfin         sum o o  cos(nx)
Cs(x) =   n=1--ns--  et         sum o o  sin(nx)
Ss(x) =  n=1--ns-  sont les fonctions de Clausen.

3.2 Equations différentielles

La fonction Y  est une série hypergéométrique, on peut donc la barder d’équations différentielles en tous genres. Parmi celles-ci, citons :

pict

mais aussi en itérant

  --------s fois--------
 (  d    )   (  d    )
x x dx-+v  ... x dx + v f(x) = 0
(26)


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