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Avril - Mai - Juin 2003


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Les anciens éditos pour les nostalgiques...
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Bonjour à tous !

Comment sont les mathématiques d'aujourd'hui ??

Ah la la, si je commence l'édito comme cela, vous vous dîtes déjà que ce n'est pas encore aujourd'hui que l'édito sera plus court :o). Et je vais en faire suer pas mal, mais bon après tout c'est moi le chef ici ! :o) Et non non, loin de moi l'ambition d'écrire tout un roman sur le sujet, je ne m'y connais pas assez... d'ailleurs je vous l'avoue, j'aimerais bien voir sur le web quelques éditos dans le genre du mien mais balancés par des sacrés pontes !
<pub subliminale> Et dans le genre, mon admiration la plus enthousiaste va au bloc note de Didier Nordon dans la revue Pour la Science, si vous n'avez jamais eu l'occasion d'y jeter un coup d'oeil, ça vaut le détour je vous assure :o) </pub subliminale>
Non moi, comme je n'ai pas son talent caustique, je reste profil bas et je me contente de deux trois remarques à la volée, naïves mais sincères, du haut de mes 23 ans et de ma frustration de non-mathématicien ! Eh oui, ça m'amuse même ! :o)
Je vous parlais des mathématiques, c'est vrai... Ma vision est peut-être erronée, mais je n'en finis pas de découvrir un monde de paradoxes. Etonnante perspective quand on y pense que ce gigantesque chantier des mathématiques, dont la vision extérieure ne révèle que la partie émergée de l'iceberg, les connaissances scolaires, mais dont le foisonnement des revues et l'abondance des articles noie complètement l'amateur même un peu éclairé. Un gigantesque chantier pourtant miraculeusement ordonné puisque dans chaque pays, dans chaque ville, une petite équipe se charge de défricher un petit bout de chemin bien défini, comme si chacun voulait sucer la sève de sa branche.
Etonnant foisonnement dont on a l'impression qu'il progresse aujourd'hui à une vitesse jamais atteinte, alors que paradoxalement même de nombreux chercheurs en maths ne sauraient pas dire l'avancée la plus significative de ces dernières années. Il est vrai que comme de tous temps, quelques têtes seulement dans le monde cherchent et sont capables, elles, de trouver de nouveaux chemins. Remarquez, talent et innovation ne sont pas irréductiblement liés. De nombreux mathématiciens parmi les plus illustres de l'histoire n'ont fait principalement que défricher, mais ils l'ont fait si bien et avec tant de talent et d'élégance... citons surtout le grand Euler dans ce cas de figure. (Je pourrais me prendre un monceau de critiques en écrivant cela, mais tant pis, ce le serait par des gens qui ne connaissent pas mon admiration pour ce grand homme, de toutes les manières !).
D'ailleurs, on a souvent aujourd'hui l'impression que le monde très formalisé et communautaire de la recherche ne met plus vraiment en avant de grand esprit, que l'Euler d'aujourd'hui n'est pas identifiable. Regardez même la notoriété plus que relative des médaillés fields, la plus haute distinction des mathématiques... Je ne peux pas croire qu'il n'y ait pas d'esprit aussi brillant et dominateur dans ces cinquantes dernières années, mais les idées vont trop vite à circuler, la traçabilité devient difficile et la taille de la montagne mathématique cache son sommet dans les nuages. Et paradoxalement alors que tout se sait et tout a les moyens de se savoir aujourd'hui, contrairement à une époque distante de seulement quelques siècles où l'éducation, la lecture, la lenteur et la difficulté de la communication bridaient potentiellement l'avancée des idées, le monde mathématique s'enferme dans un hermétisme inquiétant au bouillonnement incessant, mais dont de moins en moins de gouttes ne débordent de la marmite vers le public. Les grands esprits ne font alors que deux lignes dans la dernière édition du Monde au moment de leur décès...
Les mathématiques ont-elles avancé trop vite ? Je suppose que l'état actuel de notre civilisation pousse aujourd'hui à accélérer toute chose, mais quand on pense que dans l'histoire, Newton et Leibniz ont prétendu avoir inventé en même temps le calcul différentiel alors que leurs écrits ont plusieurs années de différence.... On pourrait alors suggérer que la science n'est aujourd'hui qu'un gigantesque forum où tout le monde parle de son idée de la veille au soir ! Même pas... Les idées circulant sur l'internet ne sont pas celles qui sont prises le plus au sérieux, en témoigne d'ailleurs la pauvreté - relative - des forums mathématiques (tout au moins francophones). Non la vraie révélation dans le monde de la recherche c'est la revue ! Ce n'est plus Euler écrivant autoritairement ses traités immédiatement pris comme référence dans le monde entier ! Non, ça c'est une idée qui appartient au passé, aux siècles précédents disons. Pourtant aujourd'hui, le circuit des revues est encore étonnamment long - un article n'est publié par une revue spécialisée en moyenne qu'un an après son envoi, donc parfois plus d'un an et demi à deux ans après l'idée originelle. Ajoutons en outre qu'à l'instar de Gauss, et principalement en mathématiques (et en physique théorique dont la conception moderne se rapproche de plus en plus de la complexité mathématique, avec la théorie des supercordes par exemple), beaucoup refusent de publier avant que les choses ne soient sûres... Encore heureux vu l'abondance des articles ! Ainsi, le mathématicien aura toujours une petite tendance assumée de solitude... :o)
Cela dit les grandes idées ne peuvent se tenir sagement bien longtemps et dès qu'une conjecture célèbre est attaquée de front par un chercheur, son papier circule assez rapidement (et ses fautes sont alors détectées relativement rapidement aussi :o) ). Etonnament, il semble là aussi qu'un certain paradoxe fasse son apparition : alors que la communauté mathématique n'a jamais été aussi nombreuse et que la place au sein de la théorie mathématique de conjectures célèbres (des théorèmes considérés comme probables mais non démontrés), étudiées depuis plusieurs dizaines d'années, n'a jamais été aussi bien définie, on dirait qu'un certain "stack overflow" guette la communauté, une sorte de limite de taille de traitement. En témoigne le récent papier consacré à la célèbre conjecture de Poincarré qui date d'un siècle, et dont la mise sur le marché public d'une prétendue preuve a presque donné l'impression de décourager la communauté internationale ! Encore quelques centaines de pages à se coltiner sans jamais vraiment être sûr que l'on ne passera pas à côté d'un petit trou... On a lu un peu partout des "il sera difficile de trouver des failles dans une telle démonstration", j'ai trouvé cela assez ahurissant ! Et comme pour sauver la mise, au moins médiatiquement, des magnifiques "cette approche ouvre des perspectives tout à fait intéressantes !" :o) Ceci dit, moi je les comprends, corriger la copie d'un autre, surtout quand il est meilleur que vous, ça n'a rien de drôle :o). Allez je suis peut-être un peu mauvaise langue, mais il est vrai que même si l'article est accepté, il est loin le temps d'Euler où il suffisait de calculer les premières décimales d'une série pour se persuader qu'elle convergeait bien vers Pi ! Désormais, on ne sera jamais vraiment sûr, au moins pendant un bon bout de temps, que la preuve est valable ! Drôle de situation pour une science qui vit et se construit surtout sur ses certitudes :o)
En outre, il faut dire aussi que les preuves courant sur plusieurs articles (et donc plusieurs centaines de pages) se multiplient et donnent la désagréable impression que les chemins qui courent entre deux propositions mathématiques n'ont plus rien de naturel. Très désagréable en effet car on sent bien que ce qui fait la beauté et la force des mathématiques c'est aussi un certain esthétisme, une certaine élégance des théories et que si cela devient aussi compliqué et tordu, non seulement dame nature semblera bien loin mais en plus il n'y aura plus grand monde pour s'extasier... Bon d'accord je ne suis pas mathématicien, il y a plein de choses très belles qui me semblent à moi très très difficiles mais allez, je prends des risques, je garde ce sentiment tout de même...
Il faudrait presque que tout ne soit pas évident, pour qu'il y ait encore raison de s'extasier, mais que la difficulté n'atteigne pas des niveaux que quelque soit le niveau d'éducation, le grand public n'atteindra jamais ! (je vous rappelle à ce propos que les cours de mathématiques de l'école Polytechnique de la fin du XIXe siècle ne sont pas très différents en niveau et en contenu de ce que l'on apprend en classe préparatoire de nos jours, à quelques exceptions algébristes près, et ce malgré les formidables avancées du XXe siècle). Mais si dame nature a vraiment créé les mathématiques, que ce n'est pas un produit de notre capacité d'abstraction, alors notre niveau est très relatif et peut-être sommes-nous très très loin du compte - voire c'est impossible à comprendre totalement. D'ailleurs, quelle est la limite d'abstraction d'un cerveau qui a conscience de savoir ? Tant de questions :o)....
Encore un point étonnant, l'apparition des conjectures justement. Imaginez la communauté des mathématiciens faisant grandir le cercle de sa connaissance de tous les côtés tel un soleil en croissance régulière, et là, tout à coup, inattendu mais infranchissable, un poteau au milieu dessine un cône d'ombre sur le chemin tracé de la lumière.... Damned tout allait si bien ! Et là ça se complique car les mathématiciens ne sont plus capables d'aller à la même vitesse sur des niveaux proches, ils avancent dans un domaine, buttent ailleurs sur un petit point précis (dont ils découvrent la profondeur avec les années, mais ça n'y change rien, ils ne trouvent pas...). Donc que font-ils ? Ben ils commencent à envisager les deux cas, tout naturellement... Si la conjecture est vraie alors v'la ma grosse théorie. Si c'est faux, aïe ben on sera bien embêtés... Si c'est indécidable.. euh... Gödel, t'es vraiment pas sympa ! On voit bien que plus le nombre de conjectures apparaît plus ça devient difficile de s'y retrouver, on ne sait plus vraiment ce qui est vrai de ce qui dépend de petits points "probables" selon la communauté internationale, mais qui en attendant leur résiste encore farouchement ! Si la célèbre hypothèse de Riemann est encore un camp retranché dans quelques dizaines d'années, gageons que cela n'aura pas empêché un grand nombre d'amateurs de la tenir pour vraie tant ce serait une catastrophe qu'elle ne le soit pas !
Dernier point un peu étonnant (enfin parmi ceux qui me viennent à l'esprit !), tout ce que l'on ne sait pas ! Il n'y a probablement rien de plus fascinant dans l'histoire des mathématiques que la petite phrase de Fermat à propos de son grand théorème "j'ai trouvé une merveilleuse démonstration de ce résultat mais elle ne tient pas dans cette marge". Ah merci monsieur Fermat, il y en a qui ont passé leur vie à croire qu'il existait une démonstration simple de votre théorème, certains y croient encore trois siècles après et 7 ans après l'arrivée d'une preuve complète (mais ô combien complexe) ! Et pourquoi pas d'ailleurs ? Comme je l'ai dit tout à l'heure, une des force des mathématiques (enfin selon moi), c'est aussi sa beauté et son élégance. Si il faut réellement trois cent pages pour démontrer une équation que même un mec de troisième peut comprendre, gageons que ce n'est peut-être pas tant que cela une victoire pour les mathématiques et leur rapport au public... Un nouveau domaine se dessine alors, trouver des preuves plus simples pour rendre son naturel aux mathématiques, trouver un chemin plus court tout simplement :o). Dans le domaine il y a de quoi faire, la transcendance de Pi tout simplement, la preuve actuelle étant assez... disons... chiante. L'homme se bat contre la complexité, il n'aime guère cela finalement !
Mais à l'instar de Fermat, que ne sait-on pas et qui aurait pu gagner un temps précieux à toute l'humanité ? Imaginez un mathématicien actuel remontant au moyen âge, ce serait extraordinaire ! Imaginez tous les livres de grands esprits, perdus au cours de batailles, incendiés, déchirés, non achevés etc... Que ne nous apprendraient-ils pas ? Ou comme on le murmure parfois, peut-être que certaines société de cryptographie en savent bien plus sur les mathématiques des nombres premiers, qui leur servent à proposer des codes inviolables, qu'elles ne veulent bien le dire... Et pourtant la progressivité quasi-mécanique des mathématiques nous sauve. Car si en biologie ou en histoire on ne saura jamais tout des dinosaures par manque de caméra vidéo à l'époque, on est certain de savoir tout aujourd'hui de ce que connaissaient déjà nos amis les grecs de l'antiquité. Et à moins que les livres et les supports d'information disparaissent, ce qui semble peu probable, tout ce qui est su aujourd'hui est acquis pour plus tard (ça n'a pas toujours été le cas dans l'histoire, la période du moyen-âge en occident par exemple a marqué une certaine régression dans plusieurs domaines des sciences pures comme les mathématiques). A ce propos, un ami me parlait récemment d'un mathématicien de la première moitié du XXe siècle (un certain Doeblin ?) dont on a retrouvé les écrits et qui annonçait parait-il plusieurs découvertes majeures des vingt-cinq années suivantes, soigneusement gardées pour ne pas tomber entre les mains des nazis... Si cela est vrai, il est finalement assez rassurant de constater que ces théorèmes n'auront pas résisté plus longtemps qu'une génération, mais par contre il est assez triste que par manque de "communication", ces théorèmes ne portent même pas le nom de ce mathématicien ! Encore vingt ans de retard, c'est certain, mais au final rien n'a été perdu !
Inexorablement les mathématiques avancent, peut-être même s'autodétruiront-elles un jour par trop de complexité et par la limite du cerveau humain. Mais en attendant, ce qui fait la beauté suprême de Pi, c'est encore cette simplicité des formules, cette apparente explication très simple par le cercle, et en même temps cette incapacité patente de la communauté des mathématiciens à pouvoir démontrer proprement une propriété simple de normalité par exemple (les chiffres et les nombres sont en proportions égales dans les décimales, 0,1, 2, ..., 9 sont présents 1 fois sur 10, et 10,11, 12, ..., 99 sont présents 1 fois sur 100 et ainsi de suite...). C'est le genre de problème qui ne peut que motiver toute la communauté, des amateurs qui espèrent avoir une petite idée tant l'énoncé est simple aux plus grands mathématiciens qui ne savent pas trop comment s'y attaquer ! Espérons que si un jour la démonstration est trouvée, elle révélera encore plus la profondeur de la constante et pour le plaisir, espérons qu'elle ne sera pas le résultat de 700 pages d'algèbre à vous arracher les cheveux. Ce serait presque dommage :o)
Boris


A bientôt pour de prochaines aventures au pays de Pi le merveilleux (environ tous les trois mois).
Salut !

 

 

 

 


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