www.pi314.net


Histoire
Mathématiciens
Toutes les formules
Approx. numériques
Programmes
Algos perso/divers
Décimales
Poèmes
Articles/vidéos
Délires !
 Pi-Day
Images/Fonds
Musique
Liens sur Pi
Bibliographie



Boris Gourévitch
L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013

Google
Accueil Historique/Actu (Pi, site, moi) Edito Livre d'or Pages en .pdf Je me présente Quelques photos Remerciements Page des nets d'or Sites qui m'indexent Derniers changements Contact

Cette page en français This page in English


pict

Benoit Cloitre

Calcul des décimales de Pi : du neuf avec du vieux !


January 4, 2009

Résumé

En exploitant une idée géométrique très simple, Benoît, toujours aussi prolifique, améliore l’efficacité de la méthode d’Archimède  pour le calcul des décimales de p  . Cette approche mélange algorithme et série et permet en théorie d’obtenir une vitesse de convergence aussi grande que l’on veut. La convergence reste cependant linéaire.

1 La Formule

Une version moderne de l’algorithme d’Archimède consiste à définir l’algorithme      1
a1 = 2  et

                V~ ---------------
     1           1(     V~ -----)
a0 = 2  an+1 =   2 1 -   1- a2n
(1)

qui permet de calculer p  étant donné que

       n
nli-->m oo  6.2 an = p
(2)

L’efficacité de la méthode n’est pas mauvaise car la convergence est en O(4 -n)  . Elle n’est pas extraordinaire non plus et de nombreuses autres méthodes (algorithmes, séries..) convergeant aussi linéairement, l’égalent ou la supplantent (sans compter bien sûr les algorithmes de Salamin-Brent ou autres frères Borwein). Nous proposons tout de même de partir de cette vieille idée et de calculer les décimales de p  avec une vitesse que l’on peut choisir aussi grande que désirée (moyennant un calcul préalable). Ainsi, pour toute valeur de n  on a la formule qui suit qui demeure valable:

                (   )
   n sum  oo --a2kn+1--  2k
6.2    4k(2k +1)  k   = p
    k=0
(3)

2 Preuve

Nous nous proposons de calculer exactement l’aire hachurée ci-dessous, qui est un secteur du cercle unité.

pict

Il est facile de voir que cette surface vaut

 integral  +AB/2            V~ ------2-
        f(x)dx - AB-  1-  AB--.
 -AB/2           2        4
(4)

En choisissant AB2-= an  , on a alors pour tout n  le cercle divisé en secteurs égaux et :

    (   integral  an V~ -----     V ~ -----)
6.2n  2      1- x2dx -an  1 - a2n  = p
        0
(5)

car on retrouve l’aire du cercle unité. D’un autre côté, on a la série connue :

 V~ ------      oo  sum     x2k   (2k)
  1- x2 = 1 -   4k(2k--1)  k
             k=1
(6)

soit  integral an V~ ---2-         sum o o --a2nk+1--(2k)
 0   1- x dx = an-   k=14k(4k2-1) k et    V~ ----2-       sum o o  -a2kn+1-(2k)
an  1- an = an-   k=1 4k(2k-1)  k et donc    V~ ------              2k+1 (  )
an  1- a2n = an-  sum o o k=1 4ka(n2k--1)-2kk . L’équation 5 devient donc

                        (  )
          n  oo  sum  --a2nk+1-- 2k
 A n > 0, 6.2    4k(2k+ 1)  k  = p.
            k=0
(7)

Ceci donne une famille de séries convergeant aussi vite que l’on désire vers p  et améliore donc l’algorithme d’Archimède  .

3 Essais

Pour n = 100  , si on calcule a100 = 4.310466040910874761824374062.10-31  , alors la série

  100  oo  sum  --a21k0+01--(2k)
6.2      4k(2k+ 1)  k
     k=0
(8)

donne environ 60  bonnes décimales de p  à chaque terme.

Autres idées de Benoît Cloitre

e  et p  dans un miroir 

p  et Log(2)  dans un miroir 

Une formule de Noël pour p   


Retour à la page d'accueil