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pict

Benoit Cloitre

Calcul des décimales de Pi : du neuf avec du vieux !


January 4, 2009

Résumé

En exploitant une idée géométrique très simple, Benoît, toujours aussi prolifique, améliore l’efficacité de la méthode d’Archimède  pour le calcul des décimales de p  . Cette approche mélange algorithme et série et permet en théorie d’obtenir une vitesse de convergence aussi grande que l’on veut. La convergence reste cependant linéaire.

1 La Formule

Une version moderne de l’algorithme d’Archimède consiste à définir l’algorithme      1
a1 = 2  et

                V~ ---------------
     1           1(     V~ -----)
a0 = 2  an+1 =   2 1 -   1- a2n
(1)

qui permet de calculer p  étant donné que

       n
nli-->m oo  6.2 an = p
(2)

L’efficacité de la méthode n’est pas mauvaise car la convergence est en O(4 -n)  . Elle n’est pas extraordinaire non plus et de nombreuses autres méthodes (algorithmes, séries..) convergeant aussi linéairement, l’égalent ou la supplantent (sans compter bien sûr les algorithmes de Salamin-Brent ou autres frères Borwein). Nous proposons tout de même de partir de cette vieille idée et de calculer les décimales de p  avec une vitesse que l’on peut choisir aussi grande que désirée (moyennant un calcul préalable). Ainsi, pour toute valeur de n  on a la formule qui suit qui demeure valable:

                (   )
   n sum  oo --a2kn+1--  2k
6.2    4k(2k +1)  k   = p
    k=0
(3)

2 Preuve

Nous nous proposons de calculer exactement l’aire hachurée ci-dessous, qui est un secteur du cercle unité.

pict

Il est facile de voir que cette surface vaut

 integral  +AB/2            V~ ------2-
        f(x)dx - AB-  1-  AB--.
 -AB/2           2        4
(4)

En choisissant AB2-= an  , on a alors pour tout n  le cercle divisé en secteurs égaux et :

    (   integral  an V~ -----     V ~ -----)
6.2n  2      1- x2dx -an  1 - a2n  = p
        0
(5)

car on retrouve l’aire du cercle unité. D’un autre côté, on a la série connue :

 V~ ------      oo  sum     x2k   (2k)
  1- x2 = 1 -   4k(2k--1)  k
             k=1
(6)

soit  integral an V~ ---2-         sum o o --a2nk+1--(2k)
 0   1- x dx = an-   k=14k(4k2-1) k et    V~ ----2-       sum o o  -a2kn+1-(2k)
an  1- an = an-   k=1 4k(2k-1)  k et donc    V~ ------              2k+1 (  )
an  1- a2n = an-  sum o o k=1 4ka(n2k--1)-2kk . L’équation 5 devient donc

                        (  )
          n  oo  sum  --a2nk+1-- 2k
 A n > 0, 6.2    4k(2k+ 1)  k  = p.
            k=0
(7)

Ceci donne une famille de séries convergeant aussi vite que l’on désire vers p  et améliore donc l’algorithme d’Archimède  .

3 Essais

Pour n = 100  , si on calcule a100 = 4.310466040910874761824374062.10-31  , alors la série

  100  oo  sum  --a21k0+01--(2k)
6.2      4k(2k+ 1)  k
     k=0
(8)

donne environ 60  bonnes décimales de p  à chaque terme.

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