Benoit Cloitre

e et dans un miroir

Benoit Cloitre est un brillant amateur de mathématiques à ses heures.

1 Deux suites en miroir

On considère les suites _n et _n définies par

u1= 0, u2 = 1, un+2 = un+1 +

v1= 0, v2 = 1, vn+2 = + vn

Plus généralement, on a

u1= x, u2 = y, un+2 = un+1 +

Alors

lim _n = x +

En considérant ces deux séquences, e et sont comme dans un miroir ! Cependant, les vitesses de convergence sont très différentes... U_n converge très rapidement (de plus en plus vite) tandis que V _n converge de manière logarithmique...

Benoit Cloitre a proposé originellement une preuve directe, mais l'on peut préférer celle de Gery Huvent, de Lille, qui permet de proposer une méthode générale de démonstration pour ces suites.

2.1 Pour _n

Un calcul des premiers termes 0,1,1,,,, laisse suggérer que

Cette propriété se prouve par récurrence sur p, en effet c'est vrai pour p = 1. Supposons que v_2p = v_2p+1 alors

et

v2p+3	= + v2p+1 = * vp + v2p
	= vp = v2p+2

ce qui donne par récurrence

Compte tenu de l'équivalent classique (obtenu classiquement avec Wallis)

on a

Remarque On peut donner un développement limité avec la formule de Stirling, pour obtenir

2.2 Pour _n

Considèrons la fonction génératrice de la suite _n

la récurrence donnée se traduit par

soit

en dérivant, on obtient

= 0

ainsi f est solution de l'équation différentielle

dont la solution générale est

compte tenu de u₁ = 0 et de u₂ = 1 = on trouve

Il s'agit maintenant de déterminer le développement en série entières de f afin de récupérer les termes de la suite. Pour cela on remarque que

( = v₂x + v₃x² + ....est définie en 0 )
Ensuite, on se souvient que si

alors

d'après le produit de Cauchy de deux séries. Ainsi

et

et

en particulier

Remarque Si on opère de même avec la suite _n, la fonction génératrice est solution de

qui vérifie

avec