www.pi314.net


Histoire
Mathématiciens
Toutes les formules
Approx. numériques
Programmes
Algos perso/divers
Décimales
Poèmes
Articles/vidéos
Délires !
 Pi-Day
Images/Fonds
Musique
Liens sur Pi
Bibliographie



Boris Gourévitch
L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013



Pi-Day dans
Pi Day Countdown
Google
Accueil Historique/Actu (Pi, site, moi) Edito Livre d'or Pages en .pdf Je me présente Quelques photos Remerciements Page des nets d'or Sites qui m'indexent Derniers changements Contact

Cette page en français This page in English


Benoit Cloitre

e et dans un miroir


Benoit Cloitre est un brillant amateur de mathématiques à ses heures.

1 Deux suites en miroir

On considère les suites (un)n et (vn)n définies par

u1= 0, u2 = 1, un+2 = un+1 + un
-n-
v1= 0, v2 = 1, vn+2 = vn+1
 n + vn
Alors
     n             2n
lnim--> oo  Un-= e et lnim--> oo  V-2= p
                    n

Plus généralement, on a

u1= x, u2 = y, un+2 = un+1 + un
-n-

Alors

lim n--> oo Un-
 n = x + y-2x
  e

En considérant ces deux séquences, e et p sont comme dans un miroir ! Cependant, les vitesses de convergence sont très différentes... Un converge très rapidement (de plus en plus vite) tandis que V n converge de manière logarithmique...

2 Démonstration

Benoit Cloitre a proposé originellement une preuve directe, mais l'on peut préférer celle de Gery Huvent, de Lille, qui permet de proposer une méthode générale de démonstration pour ces suites.

2.1 Pour (vn)n

Un calcul des premiers termes 0,1,1,32,32,158-,158- laisse suggérer que

 A p > 1, v2p = v2p+1

Cette propriété se prouve par récurrence sur p, en effet c'est vrai pour p = 1Supposons que v2p = v2p+1 alors

v2p+2 = v2p +v2p = 2p+-1vp
        2p         2p

et

v2p+3 = v2p+2-
2p+ 1 + v2p+1 = --1---
2p+ 1 * 2p+-1-
 2pvp + v2p
= 2p+-1-
 2pvp = v2p+2
d'où le résultat. On constate en plus que la suite (v2p)p vérifie
v    =  2p+-1v
 2p+2    2p   p

ce qui donne par récurrence

                     p-1
v2p = v2p+1 = (2p- 1) C2p-2
                    22p- 2

Compte tenu de l'équivalent classique (obtenu classiquement avec Wallis)

Cn2n-  -1--
22n ~   V~ pn

on a

      V~ --
v  ~   2n-
 n     p

Remarque On peut donner un développement limité avec la formule de Stirling, pour obtenir

      V~  2n  1 V~ -2-   1 V~ -2--  21 V~ --2-   (  1 )
vn =   ---- -  ---+ --  ---3- --   --5 + o -5-
       p    4  pn   32  pn    48   pn      n2

2.2 Pour (u )
  nn

Considèrons la fonction génératrice de la suite (u  )
  nn

      + sum  oo 
f (x) =  unxn
      n=1

la récurrence donnée se traduit par

+ sum  oo          + sum  oo         + sum o o 
   un+2xn =    un+1xn +    unxn
k=1         k=1        k=1 n

soit

         2                    integral  x
f (x)--u2x---u1-- f-(x)--u1x--   f-(t)dt = 0
      x2             x        0   t

en dérivant, on obtient

-x (x - 1) df(x)- (x2- x + 2)f(x)+ u x
----------dx------3--------------1--
                 x
= 0

ainsi f est solution de l'équation différentielle

x (x - 1)y'+ (x2- x+ 2)y = u1x

dont la solution générale est

  xu1     Cx2e- x
------2 + ------2
(x - 1)   (x- 1)

compte tenu de u1 = 0 et de u2 = 1 = f(2)(0)
  2 on trouve

      -x2e-x-
f (x) = (x - 1)2

Il s'agit maintenant de déterminer le développement en série entières de f afin de récupérer les termes de la suite. Pour cela on remarque que

        integral 
e-x--    xf-(t)
1- x =  0   t dt

( f(x)
--x = v2x + v3x2 + ....est définie en 0 )
Ensuite, on se souvient que si

      + oo 
h(x) =  sum  a xn
      n=0 n

alors

h(x)-  + sum  oo    n         n sum 
1- x =    Snx  où Sn =    ak
       n=0            k=0

d'après le produit de Cauchy de deux séries. Ainsi

          (         )
e-x    + sum  oo   sum n (- 1)k
1--x-=         -k!--  xn
       n=0 k=0

et

       + sum  oo  (  sum n    k)
f-(x)-=      n   (--1)-  xn-1
  x    n=0   k=0  k!

       + oo  (  n     k)
f (x) =  sum  n  sum  (-1)-  xn
       n=0   k=0  k!

et

              n
              sum  (-1)k
 A n > 1, un = n   k!
             k=0

en particulier

(   )
 un-   converge (très rapidement) vers 1
  n  n                            e

Remarque Si on opère de même avec la suite (vn)n, la fonction génératrice est solution de

               '
x (x - 1)(x+ 1)y + (x+ 2)y = x(x+ 1)v1

       + sum  oo         x2   V~  1-+-x
g (x) =    vnxn = -2---- -----
       n=1       x - 1  1 - x

qui vérifie

 integral  xg (x)      V~  1-+-x      1 + x
   --2- = 1-   ----- = 1-  V~ ----2-
 0  x          1 - x        1- x

avec

   1     + sum  oo  Ck
 V~ -----=    -24kk xk
  1- x   k=0

Remerciement : Merci à Gery Huvent () pour son inspiration toujours impeccable en la matière !



retour à la page d'accueil