Benoit Cloitre, toujours aussi imaginatif, poursuit sa chronique des similitudes entre constantes célèbres après celle entre   et .

1 Pour
2 Pour
Preuve pour Pi
Preuve pour
Vérification par code Pari-GP

1 Pour

Soit et alors . En conséquence, si l’on écrit

alors on obtient une fraction continue type Brounker   inversée.

2 Pour

Soit et alors . La fraction continue équivalente est

Preuve pour Pi

Il est aisé de voir que, par induction, et l’on reconnaît le produit de Wallis   .

Preuve pour

Soit . On voit facilement que pour , .

Vérification par code Pari-GP

Pour Pi

x=171679;u=x;for(n=2,100,u=n*(n-1)/u+1;if(n%2==0,print1((u-n-1)/(u-n)-prod(k=1,n/2,4*k^2/(4*k^2-1))*(1+1/n)*(x-1)/(x-2),",")))

,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

Pour log(2)

f(n)=if(n<2,171679,(n-1)^2/f(n-1)+1);Q(n)=1/(2*n-f(2*n))-1/(171679-1);for(n=1,10,print1(Q(n+1)-sum(k=1,2*n+1,(-1)^(k+1)/k),","))

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,