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L'univers de Pi - V2.57
modif. 13/04/2013



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pict

Benoit Cloitre

p  et Log(2)  dans un miroir



 

Benoit Cloitre, toujours aussi imaginatif, poursuit sa chronique des similitudes entre constantes célèbres après celle entre   e  et p  .

1 Pour p

Soit

Soit f1 = x /= 2  et fn = n(nfn--11)+ 1  alors                  (   )
limn --> oo  ff2n2n---2n2n--12-= xx--12  p2  . En conséquence, si l’on écrit

        ---n(n---1)---
fn = 1+ 1 + -(n-(1n-) 2(n)-(n2-)3)
            1+...+1+...2.1-
                   x

alors on obtient une fraction continue type Brounker   inversée.

2 Pour Log(2)

Soit u1 = x /= 2  et          2
un = (nu-n1-)1 + 1  alors limn -->o o 2n-1u2n = Log(2) + x1-1  . La fraction continue équivalente est

                 2
un = 1 +---(n---1)2---
        1+ 1+(n(-n2-)3.)2..-
             ...+1+1.x1

Preuve pour Pi

Il est aisé de voir que, par induction, f2n-2n-1  (    1 )(x-1)p rod n   4k2
f2n-2n-2 = 1 + 2n  x-2    k=14k2--1  et l’on reconnaît le produit de Wallis   .

Preuve pour Log(2)

Soit        ---1--  -1-
Q(n) = 2n-u2n- x-1  . On voit facilement que pour n > 1  ,                                                  sum        k+1
Q(n + 1)- Q(n) = 2n(21n+1) = 21n - 21n+1 ==> Q(n +1) =  2nk+=11 (-1)k----->  Log(2)  .

Vérification par code Pari-GP

Pour Pi

x=171679;u=x;for(n=2,100,u=n*(n-1)/u+1;if(n%2==0,print1((u-n-1)/(u-n)-prod(k=1,n/2,4*k^2/(4*k^2-1))*(1+1/n)*(x-1)/(x-2),",")))

,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

Pour log(2)

f(n)=if(n<2,171679,(n-1)^2/f(n-1)+1);Q(n)=1/(2*n-f(2*n))-1/(171679-1);for(n=1,10,print1(Q(n+1)-sum(k=1,2*n+1,(-1)^(k+1)/k),","))

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,


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