René Descartes
(1596 - 1650)

Tranches de vie

René Descartes est né à la Haye en Touraine précisément le 31 mars 1596. Ce fut certainement le philosophe français le plus célèbre ! Mais il ne fut pas que cela...
Après une licence de droit en 1616, il choisit le métier des armes en Hollande puis chez le Duc de Bavière jusqu'en 1620. Rentré en France en 1625, il y rédige ses travaux philosophiques - fameux, mais ce n'est pas l'objet de ce site ! - et fait paraître des travaux scientifiques sur l'optique, l'astronomie, la biologie et surtout la géométrie. En 1631, paraît ainsi Géométrie dans lequel il définit les cooordonnées cartésiennes d'un point. Notons au passage que c'est à Descartes que l'on doit l'habitude de représenter les quantités connues par les premières lettres de l'alphabet a,b,c,d... et les inconnues par x,y,z. Il meurt en 1650.

Autour de

Après son décès, on trouvera dans ses papiers la méthode des isopérimètres. Elle consiste à faire le contraire de la méthode d'Archimède c'est à dire à déterminer le rayon d'un cercle dont le périmètre est fixé à l'avance. C'est une construction entièrement géométrique...

Démonstration

Ou plutôt construction, car ce n'est pas une réelle démonstration mathématique !
On considère une suite de polygones réguliers P₀,P₁,P₂...P_n respectivement 2²,2³,...,2ⁿ⁺² côtés ayant, - c'est important - un même périmètre L

On considère la figure suivante, avec A_nB_n=C_n et OH_n=r_n.
Cherchons une relation de récurrence entre r_n+1 et r_n étant donné que r_n tend vers le rayon du cercle.
On sait que 2ⁿ⁺²C_n=L car L est le périmètre du polygone P_n de côté C_n. Cette relation étant valable pour tout nN, on a aussi 2²C₀=L.
Pour P₀, on a un carré donc OH₀=C₀/2=r₀, donc r₀=C₀ /2=L /(2.2²)=L/8
Soit E le milieu du petit arc A_nB_n. Le segment qui joint les milieux A_n+1 et B_n+1 de [EA_n] et [EB_n] est le côté de P_n+1. Toute l'histoire va être géométrique, alors concentrons-nous !

On a A_n+1B_n+1=C_n+1=L / 2ⁿ⁺³ : en effet, par le théorème de ce cher Thalès,

Dans le triangle rectangle OEA_n+1 (car OA_nE est isocèle), on a A_n+1H_n+1²=EH_n+1*H_n+1O
Mais montrons-le si ce n'est pas évident !
On a d'une part EO²=(EH_n+1+H_n+1O)²=EH_n+1²+2EH_n+1*H_n+1O+H_n+1O²
donc .
D'autre part, A_n+1H_n+1²=A_n+1E²-EH_n+1² par pythagore et A_n+1H_n+1²=OA_n+1²-OH_n+1², donc on a :

or toujours par pythagore EO²=A_n+1E²+OA_n+1²
donc A_n+1H_n+1²=EH_n+1*H_n+1O (franchement désolé pour la lourdeur des notations !)

or

et EH_n+1=H_n+1H_n (évident par Thalès !)
=OH_n+1-OH_n=r_n+1-r_n et encore, H_n+1O=r_n+1
donc :

Eh bien, la voilà, notre relation de récurrence !
C'est d'ailleurs un polynôme en r_n+1, qui est évidemment positif.
On extrait donc la seule racine positive du polynôme et on obtient :

Lorsque n augmente, le polygone P_n tend à se confondre avec le cercle de périmètre L=8r₀=2r_n (2*rayon...)
donc :

Intéressant, non ?
Et pas si mauvais en termes d'efficacité !

Essais

Regardons cela de plus près...
L'expression fait penser à l'aire d'un rectangle de côtés r_n+1 et r_n+1-r_n. La suite géométrique des aires de ce rectangle serait donc de raison 1/4. A priori, la relation entre r_n+1 et r_n devrait elle aussi se comporter comme une suite géométrique, et la convergence devrait être linéaire (-Log(r_n)=a*n+b)... Vérifions en prenant L=8, et donc r₀=1 (le choix de L n'influe pas sur le résultat car la relation entre r_n+1 et r_n est homogène en L) :

n=5	3,1422 (2)
n=10	3,1415932 (5)
n=50	28 décimales exactes
n=100	60 décimales exactes

Tout à fait, une bonne petite convergence 3n / 5, voilà qui est fort honorable !

Accélération de la convergence :

Ce qu'il y a de bien avec le Delta2 d'Aitken, c'est qu'il y a toujours une accélération, si minime soit elle. Mais alors lorsqu'elle est gigantesque, quelle euphorie ! Regardons les essais :

	Sans Aitken	Avec Aitken	Avec Aitken itéré
n=5	3,1422 (2)	3,14159508 (5)	3,1415926559 (8)
n=10	3,1415932 (5)	3,141592653592 (10)	16 décimales exactes
n=20	3,1415926535903 (10)	23 décimales exactes	35 décimales exactes
n=50	28 décimales exactes	59 décimales exactes	90 décimales exactes

C'est tout bonnement incroyable ! Aitken multiplie par plus de 2 la performance la suite qui atteint une convergence de 1.2n.
Il me semble bien que c'est le meilleur résultat obtenu avec Aitken pour les suites convergeant vers Pi.
Et regardez les résultats avec Aitken itéré (on applique 2 fois le Delta2) ! Vu la précision limite de mon calculateur (100 décimales) et la sensibilité du Delta2, il est même possible que le résultat soit encore meilleur.
On atteint avec Aitken itéré une précision supérieure à 1.6n et qui va en s'améliorant !