Johann Heinrich Lambert
(1728 - 1777)

est irrationnel !!! (et en fait ² également d'après Legendre...)

Tranches de vie

De milieu modeste et quittant l'école à 12 ans, Johann Lambert est un autodidacte, et se forme un esprit complet et imaginatif. On raconte d'ailleurs que Frédéric le Grand lui demanda un jour dans quelle science il était le plus compétent. Très humblement, Lambert lui répondit "Toutes" !
Travaillant sur les prémices des géométries non euclidiennes, mais s'intéressant également aussi à la philosophie et la physique, Lambert reste célèbre pour avoir démontré en 1761 l'irrationnalité de Pi, ce que nous allons faire également !

Autour de

En fait, l'irrationnalité de Pi est un résultat attendu mais fort utile car c'est à peu près le seul à donner des informations sur les décimales de Pi : Celles-ci ne sont pas périodiques !
Lambert démontre précisément le théorème suivant : si x#0 est rationnel, alors tan(x) est irrationnel.
Or, par contraposée, tan(/4)=1 donc /4 et finalement sont irrationnels !

Démonstration

La démonstration de Lambert (1761) est un peu lourde mais donnons-en tout de même un résumé!
En effet, les autres preuves que j'ai pu trouver sur le net utilisent une autre méthode, toujours la même... (voir Liens)
Donc, varions les plaisirs !

Le principe est de trouver un développement de tan(x) qui possède des propriétés particulières.

Lemme 1 :

Considérons la fraction continue x, convergente et illimitée :
avec a_i et b_i entiers relatifs.
Si a_i<b_i à partir d'un certain rang, alors x est irrationnel.

Démonstration :

Supposons que dès le rang i=1, on a a_i<b_i (ce qui n'enlève pas de généralités...)
Pour iN*, on a donc b_i-1<b_i+<b_i+1 et donc puisque a_i et b_i sont des entiers séparés d'au moins une unité, on obtient : .
Le terme en plus par rapport à l'hypothèse initiale est de valeur absolue inférieure à 1 donc ne peut faire changer le signe de la fraction (car b_i est un entier).
Ceci nous indique que le signe n'a pas changé et donc, on en conclut que est du signe de . Sa valeur absolue est de plus inférieure à 1 d'après l'inégalité ci-dessus.

De façon similaire, on obtient que est du signe de et de valeur absolue inférieure à 1.

Par récurrence descendante immédiate, on peut écrire finalement que x est du signe de ,
et de module inférieur à 1 (x1).

Pour x=1, le développement n'est pas intéressant à étudier car d'un type très particulier...
Supposons donc x<1 avec x rationnel :

Comme dans l'étude précédente, p₁ a les mêmes propriétés que x, c'est à dire p₁<1 et donc, on en conclut r< p.
Mézalors ! En itérant le procédé, on construit une suite infinie de fractions, leurs numérateurs étant des entiers de module strictement décroissant, ce qui est parfaitement absurde !
On conclut finalement à l'irrationalité de x.

Lemme 2 :

On a pour x tel que sa tangente soit définie :

Démonstration :

On utilise pour cela les développements de sin et cos :



Si l'on écrit tan(x) sous la forme
et de même, on peut alors écrire : . En itérant le procédé, on construit ainsi : .

Par récurrence presque immédiate, on a par ailleurs



Réciproquement, on doit vérifier (ce que je n'ai pas du tout envie de faire !) que la fraction obtenue converge effectivement vers tan(x). Le principe n'est pas exactement le même que celui exposé pour la démonstration de la fraction continue de Lord Brounker. Avec les notations de ce dernier site, dans notre cas, il faut montrer que les réduites P_n et Q_n convergent uniformément respectivement vers sin(x) et cos(x).

Théorème de Lambert : est irrationnel

Pour ce dernier résultat, je ne vais pas utiliser le traditionnel considéré par Lambert. En effet je n'ai toujours pas compris comment ce résultat peut être exploité alors que l'on a exclu le cas x=1 dans la démonstration initiale (mais je dois être bête...).

Pour simplifier, on va donc prendre tan()=0, ce qu'a utilisé Legendre pour montrer que ² était irrationnel.
En prenant x=, on a alors
Remarquons alors que (2k+1)>² dès k=5 et donc qu'en vertu du lemme 1, 3/² et donc ² est irrationnel (c'est le théorème de Legendre). On a finalement également : est irrationnel.